1.- Introducción

De acuerdo con una opinión popular, la lógica intuicionista es un sistema de lógica epistémica (Dalla Pozza & Garola, 1995; Hintikka, 2001; Miró Quesada, 1982). Dado que la lógica intuicionista es sub-clásica (es decir, todas sus valideces son también valideces clásicas), bajo esta lectura la lógica intuicionista aparece como un fragmento de la clásica. Si esta última es la lógica de la simple preservación de verdad, la lógica intuicionista (como cualquier otra lógica epistémica) es la lógica de la preservación del conocimiento o la justificación.

Algo que podría explicar la amplia difusión de esta idea es que permite cierta “coexistencia pacífica” entre los defensores de ambos sistemas (Dubucs, 2008). Pero esta coexistencia, de cualquier manera, reconoce la supremacía de la lógica clásica sobre su rival. Tiene sentido preguntarse si no es posible invertir esta relación de subordinación.

Hay intentos en esta dirección en la literatura (Dummett, 2000; Martin-Löf, 1993). En este artículo quiero proponer uno más. Mi propuesta toma como base una fuente poco habitual en la literatura analítica: la teoría de la verdad como desocultamiento de Martin Heidegger. Esta teoría ha sido mayoritariamente ignorada por la investigación en torno a la verdad,^[2] por lo que mi propuesta no sólo es novedosa, sino que además cuestiona la persistencia de la división entre analíticos y continentales con un acercamiento concreto entre las dos tradiciones.

Me parece importante hacer dos puntualizaciones antes de comenzar. La primera es que ni sostengo ni pretendo que mi texto sea leído como una defensa de que Heidegger fue, en algún sentido, un intuicionista. Tampoco pretendo que mi lectura de sus ideas sea consistente con la totalidad de su pensamiento. Mi interés se limita a sus ideas, y más aún, a cómo ellas son expuestas en los textos que he revisado. La segunda observación compete a la lógica intuicionista. Tal como volveré a remarcar al comienzo de la sección 3, este trabajo versa sobre el sistema formal (a veces también llamado lógica de Heyting) y no sobre el intuicionismo stricto sensu, es decir, la matemática (y filosofía de la matemática) de L. E. J. Brouwer.^[3] La relación entre un formalismo y sus interpretaciones filosóficas puede ser caracterizada según distintos niveles de compromiso; mi posición sobre este asunto, al menos en este escrito, es la más débil posible: que el formalismo en sí mismo no induce, ni privilegia, una única interpretación posible por sobre las demás.^[4]

La estructura de mi escrito es como sigue. La sección 2 expone la teoría de la verdad como desocultamiento. En la sección 3 introduzco la semántica de marcos de Kripke para la lógica intuicionista. Luego, en la sección 4, comento algunas de sus interpretaciones filosóficas antes de adelantar la mía, que está basada en lo expuesto en la sección 2. El argumento es complementado en la sección 5 con un análisis del sonado rechazo del Tercero Excluido por parte de los intuicionistas. Una sección final resume las conclusiones.

2.- Heidegger y la verdad

Heidegger no parece haberle dedicado gran atención a los problemas técnicos de la lógica sino sólo a los conceptuales, por considerar que en el tratamiento de los primeros “el juicio se resuelve en un sistema de “correlaciones” y se convierte en un objeto de un “cálculo”, pero no en tema de una interpretación ontológica” (Heidegger, 1927/2015, § 33, p. 184/159).[5] Sin embargo, en la medida en que el nivel técnico se funda sobre el conceptual, es esperable que una reforma o revisión de este último resulte en una reforma o revisión del primero. Tiene sentido entonces preguntarse de qué manera lo que Heidegger tiene que decir sobre la proposición, la verdad y la falsedad, la representación y la relación entre lenguaje y mundo impacta en las implementaciones técnicas que podemos hacer de dichos conceptos.

La verdad ocupa un lugar central en el proyecto filosófico de Ser y Tiempo. De alguna manera, es con él que el filósofo pone en relación todos los elementos de la primera parte del libro y hace posible la exposición de la segunda. Su preocupación por este concepto se remonta, sin embargo, a algunos textos anteriores, notablemente al curso de Marburgo del invierno de 1925-6 publicado bajo el título de Lógica: la pregunta por la verdad (Heidegger, 1976/2004), y volverá a aparecer como tema en escritos posteriores tales como De la esencia del fundamento (Heidegger, 1929/2000a) y De la esencia de la verdad (Heidegger, 1943/2000b).[6] A partir de estos cuatro escritos, en esta sección presentaré una reconstrucción de su doctrina de la verdad y la proposición.

Heidegger reconoce que la noción más común de verdad que maneja la filosofía es la de correspondencia (adaequatio intellectus et rei). Sin embargo, para que tenga sentido hablar de la verdad como una correspondencia entre lenguaje y mundo es necesario aceptar la distinción entre lenguaje y mundo, y luego caracterizar la manera en que ambos ámbitos se relacionan. Puesto el asunto en términos epistemológicos, el problema se reduce a mostrar “cómo una conciencia subjetiva puede hacer contacto con un mundo objetivo a través del conocimiento, y así trascender su propia inmanencia y después regresar «del salir aprehensor con la presa alcanzada a la ‘caja’ de la conciencia»” (Shirley, 2010, p. 64).

Heidegger evade esta dificultad (que él considera, por lo demás, descaminada) desestimando la “concordancia simplemente presente de dos entes que están-ahí” (Heidegger, 1927/2015, § 44, p. 246/224) como el significado primordial de la verdad, y le atribuye en cambio un lugar derivado. Para el autor, el lugar de la verdad (es decir, “aquello con lo que se corresponde original y propiamente” (Heidegger, 1976/2004, § 11, p. 108/128) no es la proposición, y la creencia en lo contrario deriva de una lectura apresurada de los tratados de Aristóteles.

Esta confusión de la tradición entre verdad por correspondencia y el concepto primordial de verdad guarda estrecha relación, en Heidegger, con el acusado “olvido de la pregunta por el ser” en que la misma tradición incurrió al no reconocer la diferencia ontológica, esto es, la distinción conceptual entre los entes (las “cosas que son”) y el ser de los entes, o aquello en virtud de lo cual los entes son. Heidegger llama “verdad óntica” (relativa a los entes) a la verdad por correspondencia, mientras que, como veremos, caracteriza a la “verdad ontológica” (en la que la primera se funda) como el desocultamiento de estos entes ante el ser humano.

Podemos hacernos una primera idea de esta diferencia con el ejemplo siguiente: nos levantamos por la mañana, abrimos la cortina y recibimos la cálida luz del sol; abrimos la ventana, y la fresca brisa de la mañana nos acaricia el rostro. Entonces, afirmamos: “hará un lindo día”. Esta proposición, en tanto enunciado, concuerda con los hechos del mundo, es “verdadera” en sentido óntico, pues expresa la correspondencia entre el estado de cosas del mundo (el sol brillante, el cielo despejado, la agradable sensación de temperatura) y el significado de la oración articulada en el pensamiento (el significado de que “hará” un “lindo día”). Pero esta verdad se funda en nuestra experiencia de abrir las cortinas y asomarnos al exterior; en el encuentro del sol, de la brisa y el cielo despejado como una situación que no nos es ajena, sino que nos incluye y atraviesa. Este literal “desocultamiento” del estado de cosas ante nosotros es lo que Heidegger llama “verdad ontológica”.

Heidegger concuerda con Aristóteles en que la proposición es apofántica, es decir, “hace aparecer” a los entes en su ser. Pero, para él, dicha función no se funda en la correspondencia sino en una estructura de orden anterior a la que llama interpretación, que corresponde a la manera en que el ser humano se involucra con los entes ante los cuales está abierto. La comprensión cabal de este último punto es importante para lo que sigue, pero requiere que profundicemos un poco más en el argumento de Ser y Tiempo. De manera que dedicaré algunos párrafos a esta tarea.

Para Heidegger el modo de ser del ente “que en cada caso somos nosotros mismos”, los seres humanos o Dasein, es el ser-en-el-mundo, lo que significa que estamos abiertos a las múltiples posibilidades que nos ofrecen tanto el mundo como nosotros mismos. Este “estar abierto”, que en la jerga filosófica del autor es llamado aperturidad, se mueve a su vez en dos estructuras existenciales: la disposición afectiva y el comprender (no como aprehensión intelectual, sino como involucramiento). Cuando el ser humano se enfrenta al mundo y se encuentra con los entes entre los cuales él mismo se halla inmerso, de manera inmediata se descubre comprendiendo las posibilidades que ellos le ofrecen y que de alguna manera determinan aquello que él mismo puede llegar a ser: “en el lenguaje óntico se usa a veces en alemán la expresión “etwas verstehen”, “comprender algo”, en el sentido de “ser capaz de una cosa”, de “poder hacer frente a ella”, de «saber hacer algo»” (Heidegger, 1927/2015, § 31, p. 169/143).

Así caracterizada, esta comprensión es a la vez una posibilidad (del propio ente) y un “estar vuelto hacia posibilidades” (de los demás entes). Al desarrollo del comprender como posibilidad Heidegger lo llama interpretación, y lo caracteriza a su vez como la manera en que lo comprendido es apropiado por lo comprensor.

La caracterización de la interpretación como existencial del comprender le permite a Heidegger presentar al enunciado (la proposición) como un modo de la interpretación, una “mostración que determina y comunica” (Heidegger, 1927/2015, § 33, p. 182/156). Aquello que es constitutivo de la interpretación, el “en cuanto” como el ser humano comprende a los entes ante los que está abierto, se presenta en la proposición de una forma que es, pues, derivada: primeramente tenemos el “en cuanto” hermenéutico-existencial, que es el descubierto por la interpretación, y sólo en virtud de éste tenemos el “en cuanto” apofántico de la proposición, que es una manera de mostrar al ente tal como anteriormente lo hemos descubierto. El mismo ejemplo que dimos antes sirve para ilustrar este punto: al levantarnos por la mañana y abrir la ventana primero nos encontramos con los entes (el sol, la brisa y el cielo despejado) y comprendemos las posibilidades que abren: salir a pasear, hacer actividades al aire libre, colgar ropa en el patio. Estas posibilidades no son en un sentido abstracto o neutral, sino que son nuestras; somos nosotros los que podemos salir de paseo, dejar de lado el sedentarismo, aprovechar la tarde para hacer jardinería o andar en bicicleta por el barrio. Entonces, cuando declaramos: “hará un lindo día”, decimos la verdad en la medida en que comunicamos nuestra interpretación de estas posibilidades.

Por lo tanto, si la proposición es verdadera (en sentido óntico) cuando muestra al ente tal como él es, esto sólo es posible en virtud de que el ser humano ya ha previamente descubierto al ente como siendo de alguna manera, y es en este descubrimiento que reside, para Heidegger, el fenómeno originario de la verdad.

Heidegger necesita mostrar que su distinción entre verdad óntica y verdad ontológica no es gratuita, y que de alguna manera está a la base de las intuiciones que corrientemente se tienen acerca de la verdad, si no quiere que toda su propuesta sea acusada de incurrir en un “cambio de tema”. El autor, en efecto, defenderá en Heidegger (1976/2004) y en el parágrafo 44 de Heidegger (1927/2015) que el sentido de verdad como “desocultamiento” está a la base del uso corriente de la voz griega alézeia, por cuanto la asocia etimológicamente con el verbo a-lezéuein, “des-ocultar”. Esto le permite explicar el aparente “olvido” de este concepto original de verdad apelando a una situación casi circunstancial: “La traducción de este vocablo por la palabra “verdad” y, sobre todo, las determinaciones teoréticas de esta expresión, encubren el sentido de la comprensión prefilosófica que subyacía para los griegos “como cosa obvia” en el uso del término alézeia” (Heidegger, 1927/2015, § 44, p. 242/219). Más aún:

Si traducimos alézeia con el término «desocultamiento» en lugar de con «verdad», dicha traducción no sólo será «más literal», sino que contendrá también la indicación de volver a pensar o pensar de otro modo el concepto habitual de verdad, en el sentido de la conformidad del enunciado, dentro de ese ámbito aún no comprendido del desocultamiento y desencubrimiento de lo ente. (Heidegger, 1943/2000b, p. 160/188)

Si para Heidegger la verdad es desocultamiento, es razonable suponer que la falsedad será una forma de lo contrario, es decir, ocultamiento; pero es necesario hacer algunas precisiones. En Heidegger (1976/2004) el autor retoma la acepción tradicional de proposición como “habla no que es verdadera como tal ni falsa como tal, sino que puede ser verdadera o falsa” (Heidegger, 1976/2004, § 11, p. 113/135), pero en Ser y Tiempo insistirá en que “la “verdad” más originaria es el “lugar” del enunciado y la condición de posibilidad para que los enunciados puedan ser verdaderos o falsos (descubridores o encubridores)” (Heidegger, 1927/2015, § 44, p. 248/226). Para el autor, toda proposición es apofántica, lo que significa que incluso las proposiciones “ónticamente” falsas son verdaderas en un sentido ontológico, puesto que muestran al ente aunque sea como apariencia, de la misma forma como el “oro falso” puede no ser lo que parece y seguir siendo él mismo real y “auténtico” en tanto que oro falso.

Dado que la aperturidad es el rasgo fundamental del ser-en-el-mundo como modo de ser del Dasein, es en ella donde se da la posibilidad tanto de que los entes sean descubiertos como de que permanezcan ocultos (o vuelvan a ocultarse). Por esta razón, decimos que el Dasein está cooriginariamente en la verdad y en la no-verdad, y de manera derivada que la verdad y la falsedad de la proposición también se dan juntas, como posibilidades, en el fenómeno primordial de la verdad ontológica. Por ejemplo, cuando Galileo miró por primera vez a través del telescopio y descubrió (en sentido científico) las lunas de Júpiter, junto con ello abrió históricamente una nueva posibilidad de acceso a ese ente. No es que no hubiera lunas en Júpiter antes de que Galileo mirara; es que, antes de la invención del telescopio, la posibilidad de acceder a esos entes (las lunas de Júpiter) no pertenecía al horizonte efectivo de lo que era dable descubrir del mundo. Y una vez que dicha posibilidad existe para el Dasein, se hace posible no sólo la verdad, sino también la falsedad de la proposición: Galileo vio cuatro lunas, pero podría haber más; y si hay lunas en Júpiter, podría haberlas en otros planetas; y si hay lunas invisibles al ojo desnudo, tal vez también planetas enteros, estrellas o galaxias enteras. Todas estas posibilidades se abren con la invención del telescopio y constituyen un nuevo ámbito en el que el conocimiento y el error pueden tener lugar.

Sin embargo, “al sostener que la verdad y la falsedad/error son cooriginarios, Heidegger no está diciendo que la verdad y la falsedad exhiban por igual su objeto en cada caso, sino que tanto las aserciones verdaderas como las falsas exhiben un mínimo de inteligibilidad descubierta” (Shirley, 2010, p. 78). A fin de caracterizar de manera más precisa el concepto de falsedad que intenta desplegarse aquí, es necesario que volvamos por un momento nuestra atención sobre el problema del fundamento.

A partir de una revisión de los escritos de Leibniz en torno al Principio de Razón Suficiente, Heidegger reconstruye la pregunta por el fundamento (el por qué) de las cosas en términos que vinculan a esta noción de manera necesaria con el concepto de verdad: “las «verdades» —enunciados verdaderos— se refieren por naturaleza a algo sobre cuyo fundamento pueden llegar a ser concordancias. (…) Por lo tanto, en el seno de la verdad habita una referencia esencial a algún «fundamento»” (Heidegger, 1929/2000a, p. 114/130). Los argumentos en Heidegger (1929/2000a, 1943/2000b) avanzarán, pues, por derroteros diferentes, pero para encontrarse en una noción común que aparecerá como fundante de ambos conceptos: la libertad. Para el autor, “libertad” aquí no tiene su significado corriente de ausencia de obstáculos o autodeterminación moral, sino que como categoría existencial hace referencia al “dejar ser a los entes” que el Dasein, en su aperturidad, posibilita para ellos. “Dejar ser”, a su vez, tampoco tiene que ver con un desinterés o indiferencia, sino todo lo contrario: “dejar ser —esto es, dejar ser a lo ente como eso ente que es— significa meterse en lo abierto y en su apertura, una apertura dentro de la cual se encuentra todo ente al punto de llevarla como quien dice consigo” (Heidegger, 1943/2000b, p. 159/188).

El Dasein, en su aperturidad, posibilita un espacio dentro del cual los entes pueden ser lo que ellos son; es esta posibilitación lo que significa, primordialmente, la libertad para Heidegger, y ella a su vez se constituye, desde este análisis, como la esencia de la verdad, por cuanto el ente sólo puede ser descubierto o desocultado en virtud de que se le ha brindado esta “libertad de ser”. Pero también esta libertad es fundamento de la no-verdad: “Es sólo porque verdad y no-verdad en esencia no son indiferentes la una a la otra, sino que se pertenecen mutuamente, por lo que una proposición verdadera puede aparecer en la más violenta de las oposiciones respecto a la correspondiente proposición no verdadera” (Heidegger, 1943/2000b, p. 162/191).

A la falsedad óntica, que es el mostrarse aparente o disimulado de lo ente (y, por tanto, discordante con el contenido de la proposición), le corresponde en el plano ontológico el ocultamiento de lo ente, esto es, la auténtica no-verdad o no-esencia de la verdad. Este ocultamiento, anterior a todo descubrir, es el misterio de lo ente en su totalidad. Nótese como, sin embargo, es necesario el ocultamiento para que pueda haber desocultamiento, por lo que “la no-esencia sigue siendo esencial para la esencia y nunca resulta inesencial en el sentido de indiferente” (Heidegger, 1943/2000b, p. 165/194).

El “misterio de lo ente en su totalidad” es la oscurísima noche del intelecto, aquella dimensión anterior a la experiencia que, en Kant, constituye la ausencia de todo conocimiento. A medida que el ser humano descubre a los entes, la verdad de éstos se constituye a su vez como la negación del misterio, es decir, del absoluto ocultamiento de lo ente. Y en tanto persevera en entregarse a los entes que descubre y apartarse del misterio fundacional, se dice que “el hombre anda errante” (Heidegger, 1943/2000b, p. 166/196). Este errar (que tiene, tanto en alemán («irren») como en castellano, el doble sentido de “vagar” y “equivocarse”) es el fundamento del error y tiene a la falsedad óntica de la proposición como uno de sus sentidos derivados:

El error se extiende desde la más común de las equivocaciones, confusiones o errores de cálculo hasta el perderse y extraviarse en las actitudes y decisiones que son esenciales. Ahora bien, lo que por lo general y también según las teorías filosóficas se conoce como error, esto es, la falta de conformidad del juicio y la falsedad del conocimiento, es sólo uno y hasta el más superficial de los modos del errar. (Heidegger, 1943/2000b, p. 167/197)

Por poner un ejemplo, una proposición como “el semáforo da la luz roja” que se enuncia cuando en realidad el semáforo da la luz verde oculta el ser del ente semáforo en tanto que lo muestra como algo aparente, es decir, diferente a lo que él es. Pero incluso este ocultar (ontológico) y este mostrar engañoso (óntico) son posibles gracias a que el Dasein que profiere la proposición está abierto a los entes y en particular al semáforo, y que le ha dado la libertad de ser como lo que él es, esto es, un semáforo que da la luz roja, verde o amarilla. La no-correspondencia, que es la falsedad del enunciado en el sentido óntico, ocurre sólo porque ocurre, en quien ha proferido la proposición, el extravío o error respecto de la verdad del ente.

3.- La semántica de marcos de Kripke para la lógica intuicionista

El Intuicionismo es un programa de investigación en matemáticas que determina una práctica y un posicionamiento filosófico particular, cuyos preceptos fundamentales fueron postulados por L. E. J. Brouwer en la primera mitad del siglo XX. Su característica más conocida es el énfasis en la constructividad de las demostraciones, entendidas como construcciones mentales, y el subsecuente rechazo del Principio del Tercero Excluido.

La lógica intuicionista, por otro lado, es un sistema formal diseñado por Arendt Heyting, discípulo de Brouwer. El intuicionismo rechaza la visión lógico-lingüística de la matemática, por lo que esta lógica no pretende jugar el mismo papel que la lógica clásica juega en la visión estándar de esta ciencia. Se trata, más bien, de un formalismo cuyo propósito es modelar los patrones que exhiben las descripciones lingüísticas de las construcciones mentales que son la base de la práctica matemática intuicionista (van Atten, 2022).

Esta lógica puede ser caracterizada de varias maneras. Heyting propuso un cálculo axiomático y un álgebra característica para su fragmento proposicional (Heyting, 1930); Gentzen la presentó como un sistema de Deducción Natural y un Cálculo de Secuentes (Gentzen, 1935); en teoría de modelos, Everett Beth y Saul Kripke la caracterizaron utilizando estructuras ramificadas (Beth, 1956; Kripke, 1963), y en la década de 1970 incluso apareció una versión basada en teoría de juegos (Lorenzen y Lorenz, 1978). Todas estas presentaciones son extensionalmente equivalentes: es decir, caracterizan las mismas inferencias válidas, razón por la cual decimos que son la misma lógica. En esta sección vamos a presentar la semántica de modelos propuesta por Saul Kripke, que es, en particular, el sistema con el que vamos a trabajar en la sección siguiente.

Sea  un lenguaje de primer orden con la signatura esperable: símbolos de constantes () y variables () de individuo, predicados de todas las aridades (), cuantificadores () y conectivas proposicionales (). Agregamos además una constante proposicional () para significar “lo absurdo” y definimos la negación () como .

Por modelo entendemos un par ordenado  donde  es un conjunto no vacío de objetos e  es una función que parea elementos de  con elementos de  de la siguiente forma:

1. Para cada término (constante y variable de individuo) ,  es un elemento de .
2. Para cada predicado  de aridad ,  es un conjunto de -tuplas de .

El conjunto  es el universo de objetos y la función  es la interpretación del lenguaje en el modelo: los términos son nombres para los objetos del universo, y los predicados son descripciones extensionales de las propiedades y relaciones que verifican dichos objetos.

Un marco de Kripke intuicionista es una colección de modelos semi-ordenados mediante una relación  que verifica las condiciones siguientes:

1. Si , entonces  y  (condición de no-olvido o monotonía)
2. Para todo modelo ,  (reflexividad)
3. Si y entonces  (transitividad)

Es posible demostrar (Kripke, 1963) que puede asumirse sin riesgos que el orden  tiene un único primer elemento, . A la luz de este hecho, los marcos pueden representarse como grafos de árbol (figura 1).

Figura 1. Representación gráfica de un marco de Kripke.^[7]

La relación de satisfacción dentro del marco () se define de la manera siguiente. En cada punto^[8]  del marco:

1.  si y sólo si (ssi) .
2.  ssi  y .
3.  ssi  o .
4.  ssi en cada punto  tal que ,  o .
5. .
6.  ssi en cada punto   tal que ,  para toda variación de la función  en .
7.  ssi  para alguna variación de la función  en .

Nótese que, en virtud de que ,  ssi en cada punto  tal que , .

Puede demostrarse (Gabbay, 1981; Kripke, 1965) que una fórmula es válida según la lógica intuicionista exactamente cuando todo marco de Kripke intuicionista la satisface en . Además, si la inferencia  es válida según la lógica intuicionista, entonces todo marco de Kripke intuicionista que satisface a todas las premisas  en  también satisface a la conclusión  en . Por otra parte, si un marco tiene sólo un punto, este punto es un modelo para la lógica clásica; en consecuencia, todas las valideces clásicas se satisfacen en el conjunto de los marcos de Kripke intuicionistas de un solo punto.

A modo de ejemplo, consideremos la inferencia siguiente:

Esta inferencia es clásicamente válida, pero es inválida en la lógica intuicionista. Para verlo, considérese el marco de Kripke siguiente:

1. Además de los accesos requeridos por la definición de marco intuicionista, el punto  tiene acceso a tres puntos: .
2. El modelo del punto  está formado por sólo dos elementos,  e . Nada satisface el predicado  y nada satisface el predicado .
3. En el modelo , hay un nuevo elemento, , que satisface el predicado .
4. El modelo  tiene los mismos elementos que , pero esta vez  satisface el predicado .
5. El modelo  es como el anterior, salvo que  satisface el predicado .

La figura 2 representa gráficamente esta información.

Figura 2. Un contramodelo (ejemplo).

Este marco satisface la premisa, . Para verlo, nótese que , y  (con ), de manera que  tiene acceso a un punto en el que se satisface . Esto hace que  falle en el punto raíz (); luego, por explosión, esta fórmula implica cualquier cosa. En consecuencia ; en particular, . Pero la conclusión, , no se satisface. El primer disyunto falla porque  (en efecto, este punto no tiene acceso a puntos en los que  tenga un testigo) pero ; y el segundo disyunto falla porque  (por la misma razón anterior) pero .

Esta presentación es completamente formal: no hemos hecho alusión alguna a sus posibles significados filosóficos. Sobre esto versa la sección siguiente.

4.- La lógica del desocultamiento

El propósito de esta sección es mostrar que las ideas expuestas en la sección 2 pueden servir de interpretación filosófica para el aparato formal introducido en la sección 3.

Comencemos con la interpretación filosófica de los marcos ofrecida por el mismo Kripke:

Ahora, en general, en una estructura de modelos interpretamos como la “situación evidencial” presente. Si es cualquier situación, decimos que  si, hasta donde sabemos, en el momento ganaremos información suficiente para avanzar hasta . Por eso, dado que la información que tenemos en podría ser toda la que tendremos por un tiempo arbitrariamente largo, estipulamos que ; y la propiedad transitiva de  es intuitivamente obvia. El requerimiento de que, para toda , si  y entonces  simplemente significa que si ya tenemos una prueba de  en la situación , entonces podemos aceptar  como probada en cualquier situación posterior —no olvidamos. Finalmente, las cláusulas inductivas para el cálculo proposicional van en consonancia con la interpretación intuicionista de estas nociones. (Kripke, 1965, p. 99; con cambios de notación)

Podemos utilizar esta explicación para hacer sentido del ejemplo visto al final de la sección anterior. En , nosotros (o “el sujeto”) sólo sabemos que existen dos objetos, , y no tenemos evidencia suficiente para probar ni que son  ni que son . Desde aquí, la situación evidencial podría evolucionar de tres maneras distintas: o bien descubrimos un nuevo objeto, , que de hecho es  (situación ); o bien descubrimos que el objeto  es  (situación ); o bien descubrimos que el objeto  es  (situación ).

Esta interpretación tiene un evidente tono epistemológico, y va en directa consonancia con la idea de matemática defendida por Brouwer, padre del intuicionismo. En su idea, el matemático es un “sujeto” que va efectuando “creaciones mentales”. Estas creaciones permanecen en su memoria, y una vez consigue mostrar que alguna de ellas ostenta cierta propiedad, esta no desaparece, ni él la olvida, en el futuro. Bajo esta interpretación, cada marco de Kripke representa un escenario posible en el curso de la investigación de este matemático idealizado.

Kripke diseñó su semántica de tal manera que esta interpretación sea adecuada, pero es importante notar que esta adecuación no excluye otras interpretaciones posibles. En la sección anterior, el formalismo fue descrito “en bruto”, por así decirlo, y en ningún momento hubo necesidad de invocar al “sujeto” o a la noción de “situación evidencial” para explicar su correcto funcionamiento. Esto muestra que el formalismo y su interpretación filosófica son independientes entre sí (Barrio y Da Ré, 2018).

Un mismo formalismo es susceptible de recibir diferentes interpretaciones. Por ejemplo, en lugar de un sujeto, podríamos tener toda una comunidad científica. En este caso, los puntos del marco serían los estadios por los que atraviesa la investigación a medida que acumula nueva información. Bajo esta interpretación, un marco de Kripke describe formas posibles del desarrollo científico, entendido este último en términos más o menos positivistas (Grzegorczyk, 1964).^[9]

Aquí es donde entra mi propuesta. En lugar de un sujeto epistémico, un matemático o una comunidad científica, podríamos tener al Dasein, abierto a las posibilidades de ser de los entes que se van revelando ante él. Esta clave ofrece una interpretación ontológica del mismo modelo, en los términos que presento a continuación.

Heidegger identifica dos momentos de la verdad: el “óntico” y el “ontológico”. El primero es la simple correspondencia intellectus et rei. En el marco de Kripke, cada uno de los puntos es un modelo en sentido estándar. Por lo tanto, la relación de satisfacción formaliza esta correspondencia: en un punto ,  es verdadera si  y es falsa si .

El segundo momento de la verdad en Heidegger, que es en realidad el primero (en el sentido de que es fundante del anterior), es la verdad “ontológica”, el desocultamiento. Heidegger describe el desocultamiento de los entes ante el Dasein como un “errar” desde el misterio de lo ente en su totalidad, hacia el ser de los entes que van apareciendo ante él en el mundo. Podemos formalizar esta idea de la siguiente manera.

Todo marco de Kripke puede convertirse en uno donde  sea un modelo con un único objeto en el dominio, que no satisfaga ninguna proposición atómica.^[10] Este punto , que en Kripke es la “situación evidencial” presente u original, aquí es la oscurísima noche del intelecto. El único elemento en (pues los dominios no pueden estar vacíos) es el mismo Dasein, pues él es “el ente que en cada caso somos nosotros mismos”. Pero este Dasein está abierto hacia las posibilidades de los entes, lo que el marco representa gráficamente como el despliegue de las ramas del árbol y la aparición de nuevos elementos en los dominios sucesivos. Así, , la noche del intelecto, se conecta con las posibilidades hacia las que está abierta. Estas posibilidades son nuevos puntos (), y cada uno de ellos es un modelo que expande el universo del Dasein. Los nuevos objetos que van apareciendo en el universo de discurso (pues ) son los entes que el Dasein va descubriendo, y las proposiciones que los nuevos puntos satisfacen son las verdades ónticas que se manifiestan ante él.

Como vimos en la sección 2, la falsedad óntica es la discordancia del ente con su propio ser, pero ella está fundada en la falsedad ontológica, que es el ocultamiento originario. En cada uno de los puntos del marco hay proposiciones que no se satisfacen; pero ellas podrían llegar a satisfacerse en puntos posteriores, si acaso su verdad es por el momento un modo de ser que permanece oculto. Por lo tanto, el Dasein puede afirmar que algo no es el caso, cuando esa forma de ser de los entes que ha descubierto no sólo no es el caso, sino que no puede ser el caso. De manera que  exactamente cuando  en cada punto  que extiende . Es un modo de ser de los entes que no puede llegar a ser. La proposición falsa (es decir, ónticamente falsa) es aquella que puede ser negada con verdad, mientras que la ausencia de los demás entes en  y el hecho de que  para todo  ilustran que “la nada es más originaria que el no y la negación” (Heidegger, 1929/2000c, p. 97/108).

Sobre las proposiciones condicionales y universales Heidegger parece no pronunciarse explícitamente, pero no hay problema con afirmar que su teoría es compatible con la manera en que estas operaciones lógicas son tratadas en la semántica de Kripke.

Hay sólo una característica del formalismo que podría resultar polémica, y es la condición de no-olvido (o monotonía): en los marcos intuicionistas, todos los objetos que existen y todas las proposiciones que se satisfacen en un punto  se preservan así en los puntos siguientes.^[11] Esta condición es poco polémica en Kripke, pues el sujeto brouweriano es un matemático idealizado, con memoria perfecta, y los objetos que crea no existen espacio-temporalmente, de manera que tampoco están sujetos al cambio o a la corrupción. Pero en nuestra interpretación los objetos en cada punto del marco son entes en principio distintos del Dasein, y un aspecto importante del “errar” de este último es precisamente la posibilidad de equivocarse (“estar en el error”), y que lo que primero apareció de una manera luego se transforme en otra distinta. La condición de no-olvido parece implicar un realismo estático: el Dasein sólo descubre a los entes en la medida en que éstos se le aparecen de modos (o con propiedades) que no cambiarán con el tiempo.

Creo que esta línea de interpretación es plausible, pero no pienso que sea la única posible. Prefiero tomar mi interpretación del formalismo como una versión parcial de la aperturidad: aquella en la cual los entes se le aparecen al Dasein de una manera. En otras palabras, la condición de no-olvido marca un límite del formalismo, no un límite de la interpretación, de manera análoga a como la interpretación de Grzegorczyk es esencialmente positivista, pues no captura o no logra dar cuenta de cierto aspecto de las revoluciones científicas, como es la revisión del conocimiento acumulado hasta ese momento.

Por último, la lógica clásica, que es la lógica de la “mera” preservación de verdad, corresponde al conjunto de las proposiciones (y las inferencias) que son válidas en los marcos de un único punto. De acuerdo con nuestra interpretación, este es el modelo en el cual el Dasein no tiene nada nuevo que descubrir: todo está a la vista. El desocultamiento queda obviado en un modelo así, y todo lo que tenemos es la correspondencia intellectu et rei.

5.- El Tercero Excluido

A fin de ilustrar la adecuación conceptual de mi propuesta, quisiera analizar qué pasa con el sonado rechazo del Principio del Tercero Excluido según los intuicionistas, desde el prisma de la interpretación propuesta.

Primero que todo, es importante puntualizar que la lógica intuicionista no admite que se niegue el Tercero Excluido. Es decir, no es posible dar un modelo que satisfaga . Como hemos visto, para la lógica intuicionista negar una proposición es declararla contradictoria, y “si [el Tercero Excluido] fuera contradictorio, entonces la negación de  sería a la vez verdadera y absurda, lo que es imposible” (Brouwer, 1948/1975a, p. 489). La posición de Brouwer respecto de este principio es un poco más sutil de lo que suelen atestiguar las reconstrucciones de su pensamiento en la literatura. Por ejemplo, en un pasaje del mismo escrito, dice:

La persistente creencia en la validez universal del principio del tercero excluido en matemáticas es considerada por el intuicionismo como un fenómeno de la historia de la civilización como la vieja creencia en la racionalidad de  o de la rotación del firmamento sobre un eje que atraviesa la tierra. Y el intuicionismo trata de explicar la larga persistencia de este dogma por apelación a dos hechos: primero, la obvia no-contradictoriedad del principio para una aserción arbitraria; segundo, la validez práctica de la totalidad de la lógica clásica para un extenso grupo de fenómenos cotidianos simples. Este último hecho al parecer causó tan fuerte impresión, que el juego de pensamiento que la lógica clásica originalmente era, se volvió un hábito tan profundamente arraigado que terminó por considerarse no sólo útil sino incluso apriorístico. (Brouwer, 1948/1975a, p. 492)

Un aspecto fundamental del intuicionismo según Brouwer es la prioridad e independencia de la matemática respecto de la lógica y el lenguaje. La matemática, para él, es “una actividad mental interior, autónoma y constructiva, que, si bien ha encontrado extremadamente útiles expresiones lingüísticas y puede aplicarse al mundo exterior, ni en sus orígenes ni en su esencia tiene algo que ver con el lenguaje o con el mundo exterior” (Brouwer, 1955/1975b, p. 551).

Son estas construcciones mentales las que dan fundamento a las verdades de la matemática. Dice Brouwer: “La verdad sólo está en la realidad, es decir, en las experiencias pasadas y presentes de la experiencia. (…) Experiencias esperadas, y experiencias atribuidas a otros sólo son verdaderas como anticipaciones e hipótesis; en su contenido no hay verdad” (Brouwer, 1948/1975a, p. 488).

En matemáticas no hay verdades que puedan reconocerse sin haber sido experienciadas, y para una aserción matemática  los dos únicos casos originalmente admitidos [verdadero y falso] son reemplazados por los siguientes cuatro: 1.  ha sido demostrada verdadera; 2.  ha sido demostrada falsa, es decir, absurda; 3.  ni ha sido demostrada verdadera ni ha sido demostrada absurda, pero se conoce un algoritmo que lleva a la decisión de si  es verdadera o es absurda; 4.  ni ha sido demostrada verdadera ni ha sido demostrada absurda, ni disponemos de un algoritmo para decidir si es verdadera o absurda. En el primer y segundo caso decimos que  ha sido juzgada; en el primero, segundo y tercero, que es juzgable. (Brouwer, 1955/1975b, p. 552; con cambios de notación)

Es sencillo ilustrar este pasaje usando marcos de Kripke (figura 3). En  el dominio sólo contiene un objeto, y este objeto en particular no satisface . En  hay un objeto (que puede o no ser el mismo anterior) que sí satisface . Con estas disposiciones,  no satisface : , pero también , porque  y .

Figura 3: Estructura del contramodelo para el Tercero Excluido

Según la explicación de Kripke,  es un teorema que no podemos probar hoy, pero que podremos probar mañana. Es decir, corresponde al caso 4 mencionado por Brouwer, el de las proposiciones “no juzgables”.

La siguiente explicación de Martin-Löf también resulta relevante en este punto:

La condición para que yo esté autorizado a afirmar una proposición , esto es, a decir que  es verdadero, no es que  sea verdadera, sino que yo sepa que  es verdadera. Este es un punto que hizo en su momento Dummett, y antes que él Brentano, quien introdujo el apropiado término de juicio ciego para un juicio que es hecho por alguien que no sabe lo que dice, aunque lo que él dice es correcto en el sentido débil de que alguien más lo sabe, o, quizás, de que él mismo llegará a saberlo en algún momento. Cuando eres forzado a responder una pregunta de sí o no, aunque no sepas la respuesta, pero sucede que das la respuesta correcta, a ojos de otro, o de ti mismo si luego llegas a casa y lo buscas, haces un juicio ciego. Erras, por tanto, aunque el profesor no descubra tu error. Ni hablar del hecho de que el profesor erró todavía más al no darte la opción de responder lo único que hubiera sido honesto, a saber, que no sabías. (Martin-Löf, 1996, p. 23; con cambios de notación)

En estos pasajes, Brouwer y Martin-Löf están pensando en los enunciados de la matemática, pero no es difícil relacionar sus observaciones con lo que Heidegger dice de las verdades en general. La verdad óntica parece corresponderse con las proposiciones “juzgables” de Brouwer: ellas son verdaderas o falsas por virtud de una experiencia anterior. La experiencia “real” que funda la verdad en Brouwer es la construcción mental, y ésta se corresponde con el desocultamiento del ser del ente en Heidegger. De manera un poco más atrevida, podríamos decir que la construcción mental brouweriana es la forma del desocultamiento del ente matemático.

De acuerdo con Heidegger, como ya citamos más arriba, “la ‘verdad’ más originaria es el ‘lugar’ del enunciado y la condición de posibilidad para que los enunciados puedan ser verdaderos o falsos (descubridores o encubridores)” (Heidegger. 1927/2015, § 44, p. 248/226). Esto es en efecto el caso en la lógica intuicionista:  es verdadera respecto de todas y cada una de las proposiciones  que han sido verificadas () o refutadas () en un punto . Pero el ocultamiento originario es anterior a la lógica, y esto es rescatado por el hecho de que el formalismo no es capaz de expresar que . Cuando el Principio del Tercero Excluido es válido, como en la lógica clásica, uno puede estar “casualmente” en la verdad, como en los juicios ciegos que menciona Martin-Löf. Para el intuicionismo brouweriano, esto no tiene sentido. Heidegger estaría esencialmente de acuerdo, con una sutileza importante: acaso es posible estar casualmente en la verdad “óntica”, mas ya no en la verdad “ontológica”. De ahí que la interpretación, en tanto existencial del comprender, sea tan importante en su teoría de la verdad: pues sólo puede “ser un lindo día” o “no ser un lindo día”, si yo estoy ahí para vivirlo, para aprovecharlo o dejarlo pasar; sólo puede “haber” o “no haber lunas en Júpiter”, si estamos abiertos a esa posibilidad histórica.

6.- Conclusiones

En este artículo he defendido una interpretación filosófica de la semántica de Kripke para la lógica intuicionista basada en la teoría de la verdad como desocultamiento de Heidegger. Además, he mostrado que esta última no es incompatible con la opinión de los intuicionistas acerca de un aspecto polémico de sus doctrinas, como lo es su rechazo al Principio del Tercero Excluido.

Durante la etapa de revisión por pares, uno de los evaluadores me hizo ver que no es claro que una forma de acceso mediado al ente, como lo es la teoría de modelos, esté en armonía con una filosofía como la de Heidegger. Estoy de acuerdo con él, y es por esa misma razón que mi propuesta no debe ser leída como un intento de formalización total de la teoría de la verdad de Heidegger. Tampoco afirmo, como advertí en la introducción, que mi implementación demuestre que Heidegger era intuicionista, o que hay alguna suerte de continuidad entre sus ideas y las ideas de estos últimos. Mi propósito es mucho más modesto. Tan sólo he querido ilustrar que hay cercanías suficientes como para pensar la semántica de la lógica intuicionista sobre la base de las ideas del pensador alemán. Este trabajo debe poder ampliarse y profundizarse, a fin de hacer a partir de él una afirmación más contundente acerca de los dos temas que pretende relacionar.

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NOTAS

[1] Miguel Álvarez Lisboa es Doctor en Filosofía (Universidad de Buenos Aires); Magíster en Filosofía, mención Lógica y Filosofía de las Ciencias (Universidad de Valparaíso). Email: miguel.alvarez@um.uchile.cl. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0291-4650. Sitio web: www.migueldaclasesdelogica.com

^[2] Por dar sólo una prueba de esta afirmación, ni Heidegger ni el concepto de “desocultamiento” (unconcealment) son citados o siquiera mencionados en la entrada ‘Verdad’ (Truth) de la Stanford Encyclopedia of Philosophy (Glanzberg, 2025).

^[3] Hay alguna tensión interesante entre las ideas filosóficas de Brouwer, padre del intuicionismo, y Heidegger, sobre todo en lo relativo a la cuestión del tiempo. Sobre este tema puede consultarse, por ejemplo, Roubach (2005). El tema, sin embargo, escapa al propósito de este artículo, por lo que no volveremos sobre él.

^[4] Para una exposición y defensa de esta postura en filosofía de la lógica, véase Barrio y Da Ré (2018).

[5] Respectivamente, el parágrafo, la paginación de la traducción consultada y la edición de Niemeyer. Todas las citas a Heidegger siguen esta misma nomenclatura.

[6] El texto procede de una conferencia pronunciada en 1930, razón por la que la edición hispana de Hitos (en alemán, Wegmarken) lo identifica mediante ese año, pero su primera publicación fue en 1943.

^[7]Nótese que la relación de accesibilidad es reflexiva y transitiva, por lo que no están representadas todas las flechas en esta gráfica.

^[8] También llamados en la literatura worlds, “mundos”. Prefiero la expresión más neutral “punto” porque ayuda a desligar el aparato formal de sus interpretaciones filosóficas.

^[9] Siendo más precisos, el texto de Grzegorczyk ofrece esta interpretación para los modelos de Beth, pero éstos son tan parecidos a los de Kripke, que la misma interpretación aplica para uno o para el otro.

^[10] La demostración no es inmediata, pero es bastante simple. La “satisfacción” de las proposiciones, en un marco intuicionista, se “hereda hacia adelante”: toda fórmula que se satisface en un punto, se satisface en todos los puntos a los que éste tiene acceso. Esto por definición. Y si la satisfacción se hereda hacia adelante, entonces la dis-satisfacción se “hereda hacia atrás”, pues si una misma proposición fuera dis-satisfecha en un punto y satisfecha en otro anterior, esto entraría en contradicción con la heredabilidad de la verdad desde el segundo al primero. Por lo tanto, un marco siempre puede extenderse hacia atrás agregando puntos que satisfagan menos fórmulas atómicas que los anteriores; el límite es, en todos los casos, un único punto en el que ninguna fórmula atómica se satisface. Estas extensiones no preservan satisfacibilidad, pero sí validez: dado que las valideces intuicionistas se satisfacen en todos los puntos, ellas se satisfacen también en los marcos que comienzan en el punto que no satisface ninguna fórmula atómica.

^[11] Agradezco a un revisor anónimo por señalar la necesidad de comentar este punto.