PROFUNDIDAD, ESTÉTICA Y LA ACTUAL FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS: un caso de Estudio del Teorema de Picard-Lindelöf[1]

Facundo Camargo Platas[2]

Unai León Rico[3]

 

 

Resumen

El objetivo de este manuscrito es ofrecer al lector un acercamiento general al concepto de profundidad en matemáticas, ausente en la literatura filosófica en lengua hispana, y proponer posteriormente una formulación original de la profundidad, fundamentada en la idea de franjas de verdad. El trabajo se divide en tres partes. Después de la introducción general al tópico del artículo, se presenta una aproximación a la noción de profundidad desde el estado del arte matemático, mostrando su existencia, relevancia y revisando las problemáticas e intentos de solución propuestos por los autores que han abordado esta cuestión. Posteriormente, se desarrolla un estudio de caso en el que se ilustran las características de la profundidad a través del teorema de Picard–Lindelöf. Por último, se examina de qué modo este concepto y la investigación en torno a él dan lugar a nuevos indicios sobre la profundidad, en particular su comprensión como relación interdisciplinaria, los cuales pueden resultar útiles, interesantes y provechosos para la filosofía contemporánea de las matemáticas.

Palabras clave: profundidad, estética, filosofía de las matemáticas, teorema de Picard-Lindelöf, teorema del punto fijo, metateoría matemática, práctica matemática, teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, axiomas.

 

Depth, Aesthetics, and the actual Philosophy of Mathematics: a case study of the Picard–Lindelöf Theorem

 

Abstract

 

The aim of this manuscript is to offer the reader a general introduction to the concept of depth in mathematics, which has been largely absent from the philosophical literature in the Spanish language, and subsequently to propose an original formulation of depth grounded in the idea of bands of truth. The work is divided into three parts. After a general introduction to the topic of the article, an approach to the notion of depth is presented from the perspective of the mathematical state of the art, showing its existence and relevance, and reviewing the main problems and attempted solutions proposed by authors who have addressed this issue. Subsequently, a case study is developed in which the characteristics of depth are illustrated through the Picard–Lindelöf theorem. Finally, the article examines how this concept and the research surrounding it give rise to new indications concerning depth, in particular its understanding as an interdisciplinary relation, which may prove useful, interesting, and fruitful for contemporary philosophy of mathematics.

Keywords: depth, aesthetics, philosophy of mathematics, Picard–Lindelöf theorem, fixed-point theorem, mathematical metatheory, mathematical practice, theory of ordinary differential equations, axioms.

 

 

1. Introducción

Los filósofos de las matemáticas han tendido a entender esta disciplina como un todo relativamente homogéneo y, en consecuencia, han intentado abordar problemas de carácter extremadamente general.^[4] Aunque esta perspectiva es legítima y necesaria, resulta insuficiente para comprender la riqueza de la práctica matemática concreta y el modo en que nuestras creencias matemáticas adquieren justificación. En las últimas décadas, varios autores (De Toffoli, 2021; Franklin, 2014; Lakatos, 2015) han impulsado una corriente que aborda la matemática desde su operatividad, su historia, su desarrollo y el trabajo individual del matemático. Nuestro objetivo no es defender esa corriente —tarea para la cual existe ya una literatura amplia—, sino ejercitarla mediante el análisis de un concepto estético que, desde hace ya una década, ha comenzado a estudiarse seriamente y cuya incorporación puede resultar especialmente fructífera: la profundidad.

Hasta hace apenas unos años, el concepto de profundidad había recibido muy poca atención. Los matemáticos carecían de una definición formal y los filósofos no habían ofrecido un análisis sistemático del fenómeno. Sin embargo, forma parte de la práctica matemática desde hace largo tiempo, al menos desde la obra de Gauss (Gray, 2015, p. 177). Este término se emplea de manera general para referirse al contenido evaluativo considerado relevante en un resultado matemático (Arana, 2015, p. 163); siendo muy amplio el abanico de entidades a las que puede atribuirse dicha predicación, como teoremas, demostraciones, conjeturas, resultados, métodos, conexiones e intuiciones.

El debate acerca de cuál es realmente el portador de profundidad está lejos de resolverse. Algunos consideran que los portadores son únicamente los teoremas (Cheng, 2022, p. 174), mientras que otros extienden esta noción a las demostraciones (Lange, 2015, p. 198) o incluso a otros tipos de resultados matemáticos. Esta cuestión será retomada más adelante.

1. Desarrollo de la problemática

2.1. Principales interrogantes sobre la profundidad

Aunque pródigamente empleada, la noción de profundidad es extremadamente vaga y problemática. Los autores que se han embarcado en su estudio comparten un conjunto de temas y preguntas fundamentales que toda tesis sobre la profundidad debe abordar (Ernst et al., 2015, p. 155):

• ¿Se puede llegar a un consenso sobre cuáles son los portadores de profundidad y en qué casos se manifiesta esta propiedad?

• ¿Existen regularidades entre los distintos ejemplos de profundidad y superficialidad dados por los profesionales?

• ¿Puede la profundidad reducirse a otros valores como prolificidad, importancia, belleza, elegancia, simplicidad, complejidad, fundamentalidad o poder explicativo?

• ¿Es la profundidad una propiedad independiente de la mente humana (es decir, objetiva) o está ligada a nuestros intereses, fines, creencias y percepciones? ¿La profundidad matemática está más o menos vinculada a estos rasgos subjetivos que la profundidad en el resto de ciencias naturales?

La mayor parte del debate existente gira, de un modo u otro, en torno a estas problemáticas. El propio concepto de profundidad resulta difícil de ubicar, pues suele situarse en el terreno de la estética, aunque con facilidad se extiende hacia otras áreas como la epistemología, la metodología o incluso la ontología. Estas preguntas son amplias y exigen una perspectiva interdisciplinaria, lo que enriquece enormemente esta empresa.

2.2. Las cuatro concepciones de profundidad

Existen diversas concepciones sobre el significado de la profundidad, o más precisamente, múltiples intuiciones al respecto. Como señalan varios autores, no se dispone de una definición formal del concepto (Arana, 2015, p. 163), e incluso se ha llegado a cuestionar que una definición de ese tipo sea posible (Stillwell, 2015, p. 230). A partir del análisis de la literatura matemática, Arana identifica cuatro concepciones generales de la profundidad (2015, pp. 167-174).^[5] Conviene detenerse y escrutar los elementos generales de dicha taxonomía.

2.2.1. Tesis Genética

Esta visión, en términos propios de la filosofía analítica, se aproximaría a una postura antirrealista. Fundamenta la profundidad en criterios sociológicos, reduciéndose a factores como el talento, el impacto, la relevancia o el renombre de su autor (de ahí el nombre de esta tesis). Responde así al problema de la objetividad y consenso con un claro talante subjetivista: si la profundidad de un teorema, demostración o conjetura depende únicamente de las creencias de los profesionales en un momento histórico determinado, entonces la profundidad es también relativa al tiempo.

Esta tesis resulta problemática, pues implicaría que la profundidad depende del talento del matemático, lo que imposibilita demarcar cuáles de sus resultados son profundos y cuáles no, o bien conduce a aceptar que todos lo son. Además, esta postura no ofrece criterios claros para identificar en qué consiste dicho talento ni métodos que permitan discernir cuándo y por qué un matemático debe considerarse talentoso.

2.2.2 Tesis consecuencialista

Podría argumentarse que los criterios sociológicos son relativamente independientes del matemático que los origina, liberando así a la tesis anterior de parte de sus dificultades. Sin embargo, persiste el problema: ¿cómo explicar que ciertos teoremas se consideren profundos a lo largo del tiempo? ¿Por qué los profesionales juzgan algunos resultados como profundos y otros no?

De no poder responder estas cuestiones, se caería en un cierto escepticismo respecto de la pregunta 2 planteada al inicio. Pero podría pensarse lo contrario, tal vez no sean los criterios sociológicos los que generan la profundidad, sino que es el hecho de que un teorema sea profundo lo que lo lleva a satisfacer dichos criterios.

La tesis consecuencialista adopta precisamente esta inversión. Un teorema o demostración posee la propiedad de profundidad debido a sus consecuencias: su fecundidad, su interés y su capacidad de generar nuevo conocimiento matemático. Se elimina así el intermediario del autor y los criterios sociológicos se aplican directamente sobre el portador de profundidad.

Esta posición, sin embargo, continúa siendo ambigua respecto de las preguntas 1, 2, 3 y 4, pues solo puede defender una noción objetiva de profundidad si asume que esos intereses y valores sociológicos son indicadores de algo que los trasciende. Alternativamente, y siguiendo a Putnam (2002, pp. 5-64), podría sostenerse que los valores son objetivos y que no existe una distinción sólida entre hecho y valor.

Si no es así, el resultado es una visión deflacionada y antirrealista de la profundidad, similar a la de la tesis anterior. Esta postura puede observarse en autores como Maddy:

Dudo que un intento de dar una caracterización general de lo que ‘la profundidad matemática’ es realmente resulte productivo; me parece que la expresión se entiende mejor como un término paraguas para los diversos tipos de virtudes especiales que percibimos claramente en nuestros ejemplos ilustrativos de formación de conceptos y elección de axiomas. (Maddy, 1980, p. 81)^[6]

2.2.3 Tesis evidencialista

La tesis evidencialista busca una mayor objetividad en su intento de responder a las preguntas 3 y 4. Centra su atención en las demostraciones y en sus propiedades. Algunos autores (Lange, 2015, p. 198) consideran que las demostraciones son portadoras de profundidad, incluso con independencia del enunciado del teorema. Es decir, se propone que puede haber teoremas con enunciados superficiales y demostraciones profundas, o viceversa.

Se podría entender la tesis de Lange (2015) como una versión de la tesis evidencialista, aunque no todo evidencialista debe adoptar esa medida. También puede sostenerse que los teoremas son los portadores de profundidad y que las demostraciones, al ser profundas o no, confieren esta propiedad al teorema.

Las estrategias evidencialistas son diversas. Algunas concepciones (Arana 2015, p. 169) asocian la profundidad con demostraciones complejas, elegantes, difíciles, extensas o impuras. Entre estas características, la impureza ocupa un lugar especialmente relevante. La pureza, a su vez, constituye otro concepto estético problemático, aunque puede describirse de manera sencilla: una demostración es pura cuando no recurre a términos o conceptos ajenos al área en la que se formula el resultado.

Esta concepción presenta serios problemas: existen demostraciones largas pero sencillas, y otras breves pero extremadamente difíciles; también las hay difíciles y puras, o fáciles e impuras. También, y para responder a las preguntas 1, 2, 3 y 4, el teórico evidencialista tendría que establecer jerarquías de valores entre las propiedades de las demostraciones, una tarea particularmente compleja. Además, surgen nuevas interrogantes, como la relativa a si las demostraciones asistidas por ordenador pueden considerarse profundas, del mismo modo que el teorema de los cuatro colores.

Otra alternativa más viable es sostener que la pluralidad de demostraciones impuras contribuye a la profundidad de un teorema, ya que esta acumulación de impurezas y de relaciones entre áreas genera una red de conocimiento entre distintos dominios matemáticos.^[7] Esta tesis adopta un enfoque más epistémico y da cuenta de ciertos comportamientos de la práctica matemática, como la pregunta retórica de Madrid Casado (2018b, p. 2), que aquí parafraseamos: ¿por qué los matemáticos ofrecen tantas demostraciones de un mismo teorema? ¿Acaso lo hacen por pasatiempo? Si una sola demostración fuera suficiente para garantizar su validez universal, este fenómeno sería inexplicable. Pero bajo la concepción evidencialista, cobra sentido: se enlazan o agrupan diversos conceptos (Madrid Casado, 2018b, p. 53). Aquí parece reintroducirse el concepto de impureza, pues precisamente la existencia de una pluralidad de demostraciones de distintas áreas constituye una colección de demostraciones impuras. Es precisamente esta impureza la que incrementa la profundidad del teorema. Madrid Casado describe este fenómeno mediante la noción de franja de verdad, un concepto un tanto obscuro que alude a la idea de que el “área” o radio de acción de un teorema se amplía a medida que se multiplican sus demostraciones desde dominios diversos. Esta expansión genera nudos en la red del conocimiento matemático, en los que confluyen distintas teorías, métodos y estructuras conceptuales. En la siguiente sección profundizaremos en esta noción y examinaremos hasta qué punto puede extrapolarse a casos en los que tales nudos no solo se producen entre áreas matemáticas, sino también entre teorías pertenecientes a disciplinas distintas.

Pese a sus virtudes, la tesis evidencialista presenta varios problemas. Si aceptamos que una pluralidad de demostraciones impuras convierte al teorema en un nodo dentro de la red de conocimiento matemático, surge entonces la cuestión de determinar cuándo la impureza es realmente relevante. Arana, por ejemplo, muestra que es posible construir demostraciones artificialmente impuras cuya impureza no añade nada a la prueba. También permanece abierta la dificultad de precisar los criterios que permiten distinguir cuándo una demostración debe considerarse impura. Si conseguimos sortear estos problemas, o simplemente decidimos quitar el factor de la impureza de las demostraciones, nos queda el problema de la individuación de las demostraciones: no siempre es trivial determinar cuándo dos demostraciones aparentemente distintas son, en realidad, la misma. Aun así, en ciertos casos (e.g., el teorema de Pitágoras o los teoremas del punto fijo), la multiplicidad de vías demostrativas es claramente observable.

2.2.4. Tesis cosmológica

La tesis cosmológica es quizá la más interesante, aunque también la más confusa. Sostiene que la profundidad surge de la aparición de cierta estructura u orden inesperado revelado por el teorema. A pesar de su formulación ambigua, esta postura busca explícitamente una concepción objetiva y realista de la profundidad, en contraste con los enfoques subjetivos, prácticos o sociológicos.

Arana ofrece una formalización particularmente sugerente:

Supongamos que existe una función S de los enunciados a R que mide el orden expresado por un enunciado, y una relación A << B que se cumple cuando A es mucho menor que B. Entonces podemos decir que un teorema es (S, <<)-cosmológicamente profundo si S(premisas) << S(conclusión). Podríamos interpretar S como una medida del grado de orden de las entidades especificadas por un enunciado, o del estado de cosas especificado por un enunciado. (Arana, 2015, p. 173)

Esta formulación permite entender la idea de orden o estructura implícita en la tesis cosmológica, aunque asimismo, Arana reconoce sus limitaciones: ni siquiera el teorema que toma como caso de estudio cumple de forma clara este criterio, y muchos teoremas intuitivamente profundos tampoco lo harían.

Además, Arana no aborda un conjunto de consideraciones que resultan pertinentes. En la lógica, si una inferencia tal que P⊨Q es válida, ello implica que todo modelo en el que P sea verdadero será también un modelo de Q, de tal manera que P∧¬Q no puede darse. La deducción preserva la verdad entre enunciados. En el plano epistémico, las conclusiones están aseguradas en la medida en que lo están las premisas, junto con la validez de la inferencia. En casos como el de los axiomas, que fueron defendidos como autoevidentes hasta hace apenas unos siglos, la confianza en las premisas se asume como máxima y, en consecuencia, como infalible. La información contenida en Q se encuentra ya implícita en P, de modo que la inferencia deductiva no introduce información nueva ni amplía nuestro conocimiento.

Pero si tomamos en serio la idea de que las premisas “afirman menos” que las conclusiones, surgen entonces varias preguntas: ¿derivan los teoremas profundos de inferencias ampliativas? ¿Serían, en ese caso, teoremas sintéticos? ¿Existen inferencias deductivas ampliativas? A partir de aquí se abren cuestiones adicionales, como la naturaleza misma de la distinción entre deducción e inducción: ¿puede una reducirse a la otra, ya sea entendiendo la deducción como un caso particular de inducción, la inducción como una forma encubierta de deducción, o negando directamente que exista una distinción sustantiva entre ambas? Estas cuestiones, aunque fascinantes, dificultan aún más la defensa de la tesis cosmológica, pues exigirían un fundamento mucho más sofisticado de la noción de deducción.

Pese a la aparente contraposición entre estas posturas, no parece necesario adoptar una posición rígida. Como sugiere la tesis consecuencialista, la fecundidad, relevancia e impacto de un resultado podrían indicar la existencia de algo más allá de los factores sociológicos, lo que permitiría combinar esta perspectiva con la evidencialista o la cosmológica. De hecho, algunos autores reconocen que emplean simultáneamente múltiples nociones de profundidad en sus análisis, del mismo modo que Lange (2015) distingue entre portadores de profundidad independientes, como los teoremas y las demostraciones. Además, esto podría esclarecer el significado de orden o estructura dentro de la visión cosmológica, pues en ciertos momentos diversos autores parecen referirse a que dicho orden y dicha estructura están dados por relaciones entre proposiciones.

Tal es el caso de la última estrategia evidencialista propuesta: la capacidad de ciertas demostraciones para conjugar distintas ramas de la matemática da lugar a una red de conocimiento que podría ser la responsable de este tipo de orden o de estructura. Este pluralismo podría ofrecer una respuesta a las dificultades particulares de cada tesis, al proporcionar una perspectiva más ajustada sobre un fenómeno complejo.

Sin embargo, también presenta problemas. La combinación de la tesis consecuencialista con la evidencialista exige una concepción objetiva de la profundidad, lo que implica asumir un cierto realismo de valores. Esta exigencia entra en tensión con la noción de impureza defendida por la evidencialista, ya que la práctica matemática ha tendido a valorar más las demostraciones puras que las impuras. En consecuencia, algunas estrategias pluralistas corren el riesgo de generar contradicciones entre los valores que postulan y los que realmente operan en la práctica.

2.3 Sobre los portadores de profundidad

Hemos venido mencionando reiteradamente la cuestión de los portadores de profundidad desde el inicio del artículo. Parece, pues, un buen momento para detenernos en ella y examinarla con mayor detalle.^[8]

No parece haber controversia en que los teoremas lo son, todos los autores que han abordado esta problemática coinciden en ello. Pero ¿hay más? Algunos autores (Cheng, 2022, p. 174) limitan la profundidad exclusivamente a los teoremas; otros (Lange, 2015, pp. 198-204), sostienen que también las demostraciones pueden ser portadoras de profundidad, incluso con independencia de la profundidad del teorema que establecen. Algunos hablan de una enorme variedad de portadores de profundidad: intuiciones, conjeturas, métodos, áreas de la matemática, conceptos o definiciones, e incluso ejemplos (Ernst et al., 2015, p. 156).

Ante esta diversidad, cabe preguntarse —siguiendo la máxima de Peirce— qué tanto se modifica nuestra comprensión del fenómeno al adoptar una noción más o menos inclusiva de portadores de profundidad.

Consideramos que este problema puede abordarse desde varios ejes. En primer lugar, desde la intuición: ¿qué queremos decir, intuitivamente, con “profundidad”? Un autor podría aceptar distintos portadores de profundidad además de los teoremas si entiende que ello se ajusta mejor a nuestra intuición del término. Esto suele darse, especialmente, en enfoques antirrealistas o subjetivistas, donde la profundidad se interpreta como una forma de expresar éxito, fecundidad o relevancia. Un segundo eje es el problema de la definición. La noción de profundidad ya es, de por sí, vaga y ambigua, y agregar nuevos portadores de profundidad puede volver aún más compleja su delimitación.

Las cuatro tesis discutidas anteriormente, con sus respectivas variantes, fueron concebidas para dar cuenta principalmente de teoremas profundos. En el caso de las demostraciones, estas pueden integrarse con relativa facilidad en las tesis genética, consecuencialista y, con mayor desarrollo, en la evidencialista. Sin embargo, en la cosmológica surgen dificultades, ya que esta se formula entre teoremas y los enunciados de los cuales se derivan, y la demostración aparece solo como medio o enlace entre ambos. Por ello, aceptar las demostraciones como portadoras de profundidad no resulta especialmente atractivo para un teórico que adopte una versión rigurosa de la tesis cosmológica. La situación no mejora al seguir ampliando la lista de portadores potenciales (conceptos, intuiciones, ejemplos o métodos), pues con cada adición se diluye más el alcance y la precisión de la noción misma de profundidad. La tesis evidencialista deja igualmente de ser factible y, sin otro apoyo, las tesis restantes, genética y consecuencialista, aunque posibles, no logran ofrecer una explicación objetiva de este fenómeno. Parecería, entonces, que todo intento de dar cuenta de la profundidad de manera objetiva y realista —no reducible a otros términos estéticos— requiere ser selectivo con respecto a los portadores de profundidad que se admitan.

2.3.1 Los Axiomas

Existe un tipo de portador de profundidad que apenas ha sido considerado en la literatura (Ernst et al., 2015, p. 156) y que consideramos que merece atención: los axiomas. En este apartado analizaremos su papel como posibles portadores de profundidad.

En primer lugar, cabe preguntarse si un axioma puede ser considerado profundo en alguno de los sentidos previamente mencionados. Esto depende de la tesis epistemológica que adoptemos frente a ellos. Muchos anti-realistas, como los nominalistas (Field, 1988), convencionalistas (Ayer, 1946, pp. 71-86; Carnap, 1937, p. 51) o incluso ciertos realistas aprioristas (Fine, 2005), sostienen que nuestro conocimiento matemático comienza con la elección —en el caso de los antirrealistas— o descubrimiento —en el caso de los realistas— de unos axiomas.

Todo el conocimiento matemático se deduce analíticamente a partir de ellos, y la verdad de los axiomas, junto con la preservación de la verdad en la deducción, constituye la única justificación necesaria para la disciplina (Field, 1988, pp. 57-59; Hahn, 1959, pp. 158-159). Bajo esta concepción, no parece haber un interés significativo ni una motivación clara para calificar a un axioma como profundo, pues o bien se los considera autoevidentes, o bien se los entiende como elecciones convencionales que no implican ningún descubrimiento genuino.

Sin embargo, existen otras perspectivas no aprioristas, de corte cuasi empirista, que defienden el carácter científico no excepcional de las matemáticas y conciben su metodología como mucho más próxima a la de las ciencias naturales. Autores como Lakatos (2015), precursor de esta tradición, se oponen a las concepciones anteriores y, además de presentar virtudes propias, ofrecen un marco especialmente fértil para comprender por qué un axioma podría ser considerado portador de profundidad.

Bajo ciertas concepciones variadas se sostiene, en contra de lo propuesto por las tesis anteriores, que el conocimiento matemático no comienza con los axiomas.^[9] Estos autores ponen en duda la distinción entre ciencias formales y naturales, y tratan de mostrar que el conocimiento matemático no posee una ontogénesis muy diferente a la de otras ciencias naturales. Algunos de ellos argumentan que, al igual que en las ciencias naturales, el conocimiento matemático se apoya en hechos o verdades intermedias (Irvine, 1989; Russell, 1907/1973; Shaffer 2017). Este tipo de hechos matemáticos constituye una forma de conocimiento elemental, accesible mediante la manipulación de objetos y la observación de procesos físicos, como ocurre con enunciados del tipo “2 + 2 = 4”, o con el conocimiento de las ternas pitagóricas previo tanto a la demostración del teorema de Pitágoras como a la axiomatización de cualquier sistema formal (Ratner, 2009). Se trata de un conocimiento que puede obtenerse a partir de la experiencia sensorial. Esto podría parecer, a primera vista, una idea extraña, pero con una mirada atenta a la historia de la matemática cobra sentido y permite explicar numerosos fenómenos. Hemos tenido acceso a las tablas pitagóricas y a demostraciones del teorema de Pitágoras antes de contar con axiomas de la geometría; hemos hablado de conjuntos y trabajado con conceptos afines siglos antes del surgimiento de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel; hemos practicado la aritmética básica antes de los axiomas de Peano.

Son múltiples los autores que defienden la capacidad de percibir perceptualmente ciertos hechos matemáticos. Algunos abordan esta cuestión desde la fisiología de nuestros mecanismos perceptivos en relación con los hechos matemáticos (Fogelin, 1995, pp. 162-163; Maddy, 1980). Otros tratan el tema en términos de formas específicas de adquisición del conocimiento matemático (Brown, 2008; De Toffoli, 2021), sosteniendo que este puede darse a través de diagramas, a los cuales otorgan un papel mucho más relevante del que tradicionalmente se les ha reconocido. Asimismo, en la ontogénesis del conocimiento matemático en los niños (Bijeljac-Babic et al., 1993; Dienes, 1960) puede observarse cómo estas verdades intermedias son las primeras en manifestarse durante el aprendizaje, y cómo gran parte del conocimiento matemático parece originarse en medios sensorialmente estimulantes.

Los axiomas de las matemáticas se entienden de una forma similar a las leyes de nuestras ciencias naturales (Irvine, 1989; Russell, 1907/1973). Se infieren a partir de conocimiento previo, especialmente de las llamadas verdades intermedias mencionadas anteriormente. Del mismo modo en que las leyes de nuestras teorías científicas “salvan el fenómeno” a partir de la experiencia sensorial previamente obtenida, el rol epistémico de los axiomas surge de la necesidad de justificar deductivamente un conocimiento intermedio anterior a esos mismos axiomas. Como señala Gödel:

Me parece que la suposición de tales objetos es tan legítima como la suposición de cuerpos físicos, y que hay tantas razones para creer en su existencia como en la de estos últimos. Son, en el mismo sentido, necesarios para un sistema satisfactorio de las matemáticas como los cuerpos físicos lo son para una teoría satisfactoria de nuestras percepciones sensibles. (Gödel, 1944, p. 128)

Paradójicamente, bajo esta consideración del rol de los axiomas en la ontogénesis matemática, los principios de las matemáticas suelen ser, en muchas investigaciones, lo que obtenemos al final de las mismas. Así, los axiomas se revelan como una forma de conocimiento adquirido, algo que descubrimos y que emerge de nuestras prácticas y de nuestra interacción con los objetos matemáticos. En consecuencia, difícilmente puedan considerarse triviales, arbitrarios o simplemente evidentes: los axiomas son, en sí mismos, portadores de profundidad.

Ahora bien, cabe preguntarse: ¿son los axiomas profundos del mismo modo que los teoremas o las demostraciones? Y si no lo son, ¿en qué sentido lo son? Si compartieran la misma forma de profundidad, ¿qué tesis sobre la profundidad sostendría su admisibilidad?

Una vía clara es la tesis consecuencialista: los axiomas son profundos en la medida en que sus consecuencias para la disciplina lo son. En matemáticas es fácil ver cómo la adopción o la omisión de un axioma produce diferencias sustantivas en una teoría. Por ejemplo, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin teorema de elección, la teoría de conjuntos intuicionista o las teorías de conjuntos no bien fundadas muestran marcos teóricos con consecuencias muy distintas al modificar o prescindir de ciertos axiomas. El descubrimiento de un axioma, o de alguna de sus propiedades, puede tener una gran relevancia para la disciplina. Un ejemplo es la constatación de que el quinto postulado es independiente de los demás postulados de la geometría euclidiana, lo cual permitió el desarrollo de una amplia variedad de geometrías no euclidianas.

Podríamos intentar aplicar una concepción evidencialista, pero surge inmediatamente un problema: esta postura depende de las demostraciones, y los axiomas, en principio, no se demuestran. Al menos, no se demuestran en un sentido formal o estrictamente deductivo. Sin embargo, si seguimos la línea de pensamiento de los autores mencionados, pueden explorarse otras vías para fundamentar su papel. Manin, por ejemplo, señala:

Las representaciones intuitivas acerca de los conjuntos, a los cuales recurrimos en la exposición anterior construyendo el universo V, son materia primaria. El lenguaje L₁ Set ha sido ideado para escribir textos formales equivalentes a nuestros razonamientos no formales respecto de V. Los axiomas de L₁ Set (incluso los axiomas lógicos) se han obtenido como resultado del análisis de las demostraciones no formales. (Manin, 1981, p. 173)

Aunque resulta problemático construir un criterio evidencialista o cosmológico a partir de razonamientos no formales —ya que el proceso de individuación de demostraciones formales es de por sí complejo, y más aún lo sería con demostraciones informales—, sigue siendo posible considerar el modo en que estos razonamientos generan una red de conocimiento matemático, especialmente cuando logran articular saberes procedentes de distintas áreas.

Algunos podrían sostener que el método de adquisición de axiomas descrito puede entenderse en términos abductivos (Irvine, 1989, p. 322). En este sentido, cabe preguntarse si las demostraciones abductivas creativas podrían constituir una vía para dotar de profundidad a un axioma. En la tesis cosmológica ya nos hemos encontrado con formas de inferencia singulares, deductivas y ampliativas, o al menos aparentemente deductivas.

Aún existen otras estrategias para dar cuenta de la profundidad de los axiomas. Aunque no podamos demostrarlos formalmente, sí podemos demostrar propiedades acerca de ellos. Por ejemplo, sabemos que el axioma de elección es independiente de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, y que por ello podemos trabajar tanto con él como sin él, obteniendo teorías distintas. De manera análoga, el descubrimiento de la independencia del quinto postulado de Euclides con respecto a los demás postulados de la geometría, por autores como Gauss, Lobachevsky y Bolyai, dio lugar a las geometrías no euclidianas.

Podemos sostener, entonces, que los axiomas con más propiedades demostradas poseen una profundidad superior. Estas características admiten al menos dos lecturas. Por un lado, una interpretación consecuencialista, según la cual tales propiedades generan repercusiones a nivel disciplinar, impulsando nuevos programas de investigación o transformando los ya existentes. Por otro lado, una interpretación evidencialista, dado que la capacidad de vincular un axioma con distintas teorías amplía su red de relaciones y su alcance conceptual.

Por último, las consecuencias de aceptar o rechazar un axioma, así como la manera en que estas decisiones influyen en teorías particulares, pueden considerarse también un indicador de profundidad en sentido cosmológico. En casos como el descubrimiento de la posibilidad de construir geometrías consistentes negando el quinto postulado, puede hablarse de un hallazgo acerca del orden, la estructura y las propiedades de la geometría, tanto euclidiana como no euclidiana. En este contexto, podría reinterpretarse la relación (S, <<) aplicándola al axioma en lugar de a las premisas, y al sistema formal resultante en lugar de a la conclusión.

3. Nuestra noción de profundidad y el teorema de Picard-Lindelöf

Habiendo introducido y examinado el concepto de profundidad, resulta oportuno intentar dar cuenta de un caso concreto de profundidad asociado a un resultado matemático específico con conexiones muy fuertes con la física.

En la sección anterior se mencionó la tesis de la franja de verdad propuesta por Madrid Casado; en lo que sigue intentaremos refinarla y mostrar que puede entenderse como una aproximación a nuestra noción de profundidad.

En esta tesis se distingue el valor verificativo funcional de una proposición —es decir, su verdad formal dentro de un sistema determinado— de lo que podríamos denominar su rango de acción o contexto determinante. El rango de acción puede caracterizarse como la propiedad de una determinada verdad de ser efectivamente aplicable y operativizable, conservando un rol inferencial o estructural en una pluralidad de dominios o marcos lingüísticos. Cuanto mayor sea el número de dominios en los que dicha verdad desempeña ese rol, mayor será su rango de acción.

Conviene no confundir esta noción con los casos en los que una misma proposición resulta verdadera en una teoría y falsa en otra, como ocurre con el teorema de Pitágoras en geometrías no euclidianas, o con la identidad “1+1=1” en ciertas álgebras de Boole frente a su invalidez en la aritmética clásica. En estos ejemplos se produce un cambio en el valor verificativo funcional debido a la modificación del marco lingüístico o teórico. La noción que aquí nos interesa, en cambio, no remite a variaciones en el valor de verdad, sino a la transferencia conceptual de un resultado entre distintos dominios.

Un teorema puede conservar su estatuto formal y, aun así, carecer de sentido operativo fuera del marco para el cual fue formulado. Así, preguntar por la validez de la Segunda Ley de Newton en la aritmética carece de sentido, no porque dicha ley sea falsa, sino porque el dominio de cuantificación de dicha ley incluye magnitudes físicas y no entidades aritméticas. En contraste, ciertos resultados matemáticos, como el teorema de Pitágoras, poseen una estructura lo suficientemente abstracta como para ser reinterpretados y utilizados en marcos distintos del original, tal como ocurre en el álgebra o en el análisis funcional, donde reaparecen como propiedades de normas o productos internos. En estos casos, el enunciado amplía su rango de acción sin que ello implique una modificación de su valor verificativo funcional, por motivos que se explicarán más adelante.

Esta idea es expresada con claridad por Madrid Casado cuando afirma:

“Cuando los teoremas se demuestran mediante cursos de operaciones heterogéneos se convierten en auténticos nudos de la red matemática, en el sentido de que su franja de verdad aumenta (no porque su valor de verdad formal cambie, sino porque su verdad en sentido material engrosa). Así, el Teorema del Punto Fijo de Brouwer fue originariamente demostrado usando técnicas de topología algebraica, pero su conversión en piedra angular de la matemática moderna se fraguó gracias a las demostraciones usando teoría de retractos y análisis, que permitieron su empleo en otros dominios.” (Madrid Casado, 2018a, pp. 109-110)

Madrid Casado apela a que las demostraciones de un mismo teorema realizadas desde distintas áreas de las matemáticas producen un engrosamiento de su franja de verdad, en la medida en que permiten concatenar, engranar o articular fenómenos inicialmente dispares bajo un mismo enunciado. Este proceso da lugar a un aumento del dominio de aplicación de la verdad del teorema, dando lugar al nudo en esta red de conocimiento.^[10]

Sostenemos que la noción de franja de verdad, entendida de este modo, constituye una de las formas más adecuadas de captar la profundidad matemática, al menos en el caso de los teoremas. Pues esta tesis permite articular en una única noción los enfoques evidencialista, cosmológico y consecuencialista. Por un lado, la franja de verdad ofrece una interpretación intuitiva del orden y la estructura que generan ciertos resultados matemáticos, fundamentada en los métodos de demostración que los sustentan; en particular, en aquellos cursos de operaciones heterogéneos que, en nuestros términos, corresponden a demostraciones impuras. Por otro lado, esta concepción permite explicar por qué ciertos teoremas poseen una repercusión tan notable dentro de la práctica matemática, algo que en la tesis consecuencialista aparecía, en gran medida, como un hecho convencional o sociológicamente determinado.

Desde esta perspectiva, se puede dar cuenta objetivamente al por qué son precisamente ciertos resultados los que alcanzan un estatus privilegiado en la disciplina, pudiendo apelar a algo mas que un mero interés sociológico contingente ni llegar a una metafísica demasiado inflada y abstracta. Los teoremas con mayor impacto histórico tienden a ser aquellos que admiten un gran número de demostraciones impuras y heterogéneas, y que, por ello, funcionan como auténticos nodos dentro de la red del conocimiento matemático, otra ventaja de esta tesis es que puede ser apropiada desde las propias matemáticas y su conocimiento existente, pues el fundamento de esta son las demostraciones de los matematicos. Ejemplos de este fenómeno son el teorema de Pitágoras, los teoremas de punto fijo, los métodos de diagonalización, la desigualdad de Cauchy–Schwarz o el teorema fundamental del álgebra, todos los cuales cuentan con decenas o incluso centenares de demostraciones y ocupan un lugar central en la práctica matemática.^[11]

A partir de aquí surge una cuestión adicional: ¿existen casos de resultados que no solo generen nodos de conocimiento entre distintos dominios de una misma disciplina, sino también entre disciplinas diferentes? Para Madrid Casado, la respuesta es afirmativa de manera casi trivial, puesto que considera a las distintas ramas de las matemáticas como disciplinas particulares (Madrid Casado, 2018, p. 111). Sin embargo, nuestra propuesta va más allá de este punto. Cabe preguntarse si existen resultados profundos, en el sentido del engrosamiento de la franja de verdad, que articulen dominios pertenecientes a ciencias distintas, como la matemática y la física.

Sostenemos que la respuesta es afirmativa y que es posible ofrecer un ejemplo claro de este fenómeno: el teorema de Picard–Lindelöf, cuyo análisis permitirá mostrar cómo un mismo resultado puede operar como nodo no solo entre áreas matemáticas, sino también entre marcos conceptuales matemáticos y físicos.

De forma intuitiva, este teorema garantiza que, dada una ecuación diferencial que no varía de manera “excesivamente abrupta”, existe una única solución determinada por una condición inicial. Por ejemplo, si a una partícula en el espacio, sometida a determinadas fuerzas, se le aplica la Segunda Ley de Newton, se obtiene una ecuación diferencial que describe su movimiento. Si dicha ecuación no varía de manera tan abrupta, entonces el movimiento de la partícula queda totalmente determinado por la posición inicial. En este sentido, el determinismo implícito en la Segunda Ley de Newton es formulado rigurosamente por el teorema de Picard–Lindelöf.

Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial sujeta a cierto valor inicial (lo que se denomina “problema de Cauchy”), obtenemos el siguiente sistema:

Este problema se puede traducir en términos de una ecuación integral del siguiente modo:

Corroboremos la equivalencia. Si evaluamos en t=tο, obtenemos

observamos que el segundo término se anula y resulta que x(tο) = xο, por lo que la equivalencia se cumple para la condición inicial. Ahora derivemos ambos miembros con respecto a t:

el primer término es constante y al derivarlo se anula, entonces observamos que

lo cual demuestra que ambas formulaciones son equivalentes.

Definimos entonces el operador Γ: C(I) → C(I) donde C(I) denota el espacio de funciones continuas definidas sobre un intervalo compacto I, provisto de la norma supremo, dado por

Observemos que hallar soluciones al problema de Cauchy es equivalente a hallar puntos fijos del operador Γ, al que le llamamos operador de Picard. En efecto, una función φ ∈ C es solución del problema si y solo si Γ (φ) = φ, pues en ese caso que, como vimos, es equivalente al problema diferencial inicial.

Esta reformulación del problema no parece, a primera vista, revelar una estructura subyacente; parece más bien una traducción arbitraria. Sin embargo, consideremos un ejemplo concreto, en particular el siguiente problema de Cauchy:

definamos ahora la siguiente sucesión de funciones continuas:  con . Desarrollando sucesivamente:

Notemos que si tendemos n a infinito, obtenemos , ya que este es precisamente el desarrollo de Taylor de . Se trata de un caso particular en el que la convergencia puede describirse explícitamente.

Verifiquemos ahora si es punto fijo del operador , es decir, si satisface el problema de Cauchy:

Acabamos de mostrar que, si este no es un caso particular y se pueden fijar hipótesis adecuadas para garantizar, la sucesión  converge a una determinada función; en particular, la solución al problema de Cauchy.

Existe un resultado matemático perteneciente a la rama del análisis que no suele ser asociado a la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias: el teorema del punto fijo de Banach. El enunciado de este teorema es el siguiente:

Sean (X, d) un espacio métrico completo con distancia d y F : X → X una contracción. Entonces existe un único punto fijo de F que llamamos p∞. Más aún, p∞ es un atractor de F, es decir, para todo p ∈ X.

Donde una contracción sobre el espacio (X, d) se define como una función F : X → X donde existe una constante k∈[o,1) tal que d( F (x), F (y)) ≤ kd (x,y)

Y un espacio métrico completo (X, d) es un conjunto de puntos  con una noción de distancia d  que no presenta “agujeros”. Más formalmente, se trata de un espacio en el que toda sucesión de Cauchy converge a un elemento del propio espacio.

Es decir, si el operador Γ: C(I) → C(I) es una contracción sobre el espacio métrico completo C(I), entonces existe y es única la solución al problema de Cauchy, y esta se obtiene aplicando sucesivamente Γ sobre sí mismo. Esto resulta verdaderamente revelador, pues hemos identificado un comportamiento dinámico global altamente estructurado que emerge a partir de condiciones con un menor contenido estructural: la completitud del espacio de funciones continuas y la condición contractiva del operador de Picard. Conviene precisar, sin embargo, que el carácter “mínimo” de estas condiciones no debe entenderse en términos absolutos, sino de manera relativa al comportamiento concreto de las soluciones de la ecuación diferencial. Aunque abstractas y rigurosamente estructuradas, dichas hipótesis no constituyen información dinámica sobre las soluciones, sino que operan como condiciones generales.

A este fenómeno se le puede atribuir la noción de profundidad cosmológica propuesta por Arana: un orden no trivial que se manifiesta a partir de premisas con escasa estructura en relación a las conclusiones.

Con el fin de culminar el análisis cosmológico del teorema de Picard-Lindelöf, se presentará su enunciado formal, en el formato que habitualmente presenta en la literatura matemática:

Sea   continua y localmente lipschitziana en la variable espacial. Dado (xο, tο) ∈ Ω, existe un intervalo I = [tο – α, tο + α] con α > 0 tal que el problema de Cauchy

tiene solución única en I.^[12]

La condición de Lipschitz es la que asegura que el operador de Picard Γ: C(I) → C(I)  es una contracción sobre el espacio de funciones continuas definido en el intervalo I.

La tesis del teorema de Picard–Lindelöf reduce el conjunto de posibles soluciones a un único elemento, a partir de hipótesis con un contenido estructural mínimo sobre la función ƒ. Esto le confiere una profundidad cosmológica en el sentido de Arana. Sin embargo, la profundidad cosmológica no es la única que puede atribuirse a este teorema: su propia demostración es también merecedora de un análisis evidencialista.

Urquhart (2015, pp. 238-240) propone una analogía sumamente acertada entre las estrategias de demostración y las decisiones en una partida de ajedrez. Una jugada profunda, en ese contexto, se caracteriza por su escasa obviedad y gran efectividad. Extrapolado al caso del teorema de Picard–Lindelöf, esta “jugada profunda” corresponde a la reformulación del problema de Cauchy como la búsqueda de puntos fijos del operador de Picard. Dicha estrategia permitió vincular dos áreas distintas de las matemáticas: la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y el análisis matemático, haciendo posible utilizar un resultado auxiliar propio de esta última para completar la demostración del teorema. Estos “puentes” entre teorías revelan propiedades estructurales ocultas, aumentando la profundidad de las demostraciones matemáticas y, en consecuencia, de los propios teoremas (a menos que uno opte por separar la profundidad de una prueba de la profundidad de un teorema).

En este sentido, la demostración del teorema de Picard–Lindelöf también puede considerarse impura, entendiendo la impureza en un sentido técnico, es decir, como el uso de conceptos y resultados provenientes de otra área. Sin embargo, a diferencia de la mayoría de los ejemplos presentes en la literatura filosófica actual sobre la profundidad matemática, este teorema posee una parte significativa de su origen y consecuencias dentro del marco de la mecánica newtoniana, en particular en relación con la Segunda Ley de Newton. En este contexto, su resultado actúa como una condición para que el determinismo en la mecánica clásica se cumpla, en la medida en que el teorema garantiza que, bajo ciertas condiciones de regularidad (es decir, en ausencia de cambios excesivamente abruptos), una ecuación diferencial admite una única solución, quedando completamente determinada por el estado inicial del sistema.

El descubrimiento de un teorema matemático nos proporciona aquí conocimiento físico acerca del mundo, y no de un tipo trivial. En términos de la noción de profundidad como franja de verdad, introducida al inicio del capítulo, este hecho puede interpretarse como un engrosamiento del rango de acción del teorema. En la literatura filosófica contemporánea se discute la posibilidad de que ciertos hechos matemáticos expliquen fenómenos físicos (Lange, 2013; Lyon, 2011). Casos de este tipo no solo abren la posibilidad de hablar de profundidad asociada también a tesis fundamentales de otras ciencias naturales, sino que permiten, además, introducir una nueva forma de interpretar la explicación matemática de hechos físicos: una explicación más indirecta, pero no por ello menos relevante desde el punto de vista filosófico.^[13]

Ahora bien, si el engrosamiento de la franja de verdad y la constitución de nodos interdisciplinarios dependen, en buena medida, de las estrategias demostrativas empleadas —y en particular de la impureza de dichas demostraciones—, entonces resulta natural volver a interrogarse por el estatuto de las demostraciones mismas como posibles portadoras de profundidad.

Tal y como se dijo anteriormente en la tesis de Lange, las demostraciones también pueden ser portadoras de profundidad: una demostración es más profunda que otra cuando logra responder las preguntas del tipo “¿por qué?” que la otra deja sin resolver (Lange, 2015, pp. 197-204). Entonces surge la siguiente cuestión: ¿una demostración del teorema de Picard–Lindelöf que incorpore la demostración del teorema del punto fijo de Banach es más profunda que una que simplemente lo utiliza sin demostrarlo? Y, en caso afirmativo, ¿hasta qué punto puede seguir considerándose una demostración del teorema de Picard–Lindelöf si, al mismo tiempo, demuestra otros teoremas? Más generalmente, ¿cuál es el límite de resultados previos que pueden incluirse o demostrarse dentro de la prueba de un teorema sin que esta deje de ser considerada como la prueba de dicho teorema? Esta es una derivación del problema de la individuación planteado en la primera sección, y constituye un obstáculo para determinar qué teoremas o demostraciones poseen más profundidad evidencial que otros.^[14] Esta es una cuestión que sigue vigente.

 

4. Conclusiones

Mediante la recopilación del trabajo existente en torno al concepto de profundidad, hemos mostrado que ciertos valores provenientes de la estética matemática, pese a su escaso desarrollo en la literatura actual, plantean problemáticas significativas para la filosofía de la práctica del matemático y para la historia de la disciplina. Asimismo, estos valores abren líneas de investigación con conexiones metodológicas, metateóricas, ontológicas, lógicas y, especialmente, epistemológicas.

El estudio de caso del teorema de Picard–Lindelöf ha permitido ilustrar de manera concreta cómo emerge la profundidad en un resultado matemático específico. Este teorema resultó especialmente adecuado para mostrar que la profundidad puede entenderse como un fenómeno vinculado a la capacidad de ciertos resultados para funcionar como nodos dentro de redes de conocimiento cada vez más amplias. En particular, se hizo explícito su papel en la fundamentación rigurosa del determinismo implícito en la Segunda Ley de Newton, lo que pone de manifiesto su proyección más allá del dominio estrictamente matemático. La reformulación de la noción de franja de verdad ha permitido dar cuenta de este engrosamiento del rango de acción del teorema, ofreciendo una vía para integrar, dentro de una misma caracterización, las intuiciones evidencialistas, cosmológicas y consecuencialistas.

Esto invita a reconsiderar el lugar de la estética en la matemática y el papel que desempeñan los valores no epistémicos en su práctica. Incluso cabe preguntarse si la profundidad debe ser considerada un valor epistémico o si, como sugieren algunos autores (Pournari, 2008; Rooney, 1992), la distinción entre valores epistémicos y no epistémicos puede sostenerse.

Agradecimientos

Queremos expresar nuestro más sincero agradecimiento a Gabriel Donoso por su tiempo, apoyo y valiosas contribuciones a lo largo del desarrollo de este proyecto, sin las cuales este artículo no habría alcanzado su forma actual. también le damos gracias asimismo a Oceana por sus críticas constructivas, y a Constantino Contreras por sus pertinentes y enriquecedoras sugerencias bibliográficas. Por último, también agradecemos a los revisores por sus observaciones y comentarios, que contribuyeron de manera significativa a mejorar la calidad del manuscrito.

 

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NOTAS

[1] Publicado: 29 / 01 / 2026. Revista Open Access 4.0. Artículos de la Revista Homónima (ISSN 3087-260X), Departamento de Educación y Ciencias Sociales de la Universidad Andrés Bello. Cómo citar: Camargo, F., & León, U. (2026). Profundidad, estética y la actual filosofía de las matemáticas: un caso de estudio del teorema de Picard-Lindelöf. Revista de Filosofía Homónima, 1(1), pp. 178 – 213. https://doi.org/xxxxxxx[Por asignar]

[2] Facundo Camargo Platas es estudiante de Ingeniería Físico-Matemática y Licenciatura en Matemática de la Universidad de la República (Uruguay). Email: facundo.camargo.05@gmail.com. ORCID:  https://orcid.org/0009-0000-0241-8628

[3] Unai León Rico es estudiante de Licenciatura en Filosofía de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (España). Email: unaileonrico@gmail.com. ORCID: https://orcid.org/0009-0009-0605-4476

^[4] Podrían ponerse como ejemplos de este tipo de problemáticas el debate sobre los fundamentos de las matemáticas, las preguntas acerca de la posible reducción de la disciplina (i.e., a la lógica, a la teoría de conjuntos, a la teoría de categorías o a la teoría homotópica de tipos), así como la cuestión de la validez universal de ciertos teoremas lógicos (e.g., el principio del tercio excluso) y las epistemologías que buscan justificación para toda la disciplina matemática (e.g., el holismo empirista de Quine). De Toffoli (2022) y Lakatos (1976) hacen referencia a este fenómeno.

^[5] Su desarrollo proviene del análisis de los comentarios de matemáticos profesionales acerca de la profundidad, diferenciando en cada caso los distintos usos y matices del término. Se trata, por tanto, de un trabajo de análisis lógico del lenguaje empleado por los propios matemáticos, y no de una construcción impuesta externamente por los filósofos.

^[6] Todos los textos citados presentes en el manuscrito son traducciones de nuestra autoría, a excepción del correspondiente a Manin (1981, 173), cuya traducción del ruso corre a cargo de E. M. Kotenko.

^[7] Este es un caso especialmente ilustrativo. Aunque Madrid Casado (2018a, pp. 109-110), no ha tratado explícitamente el concepto de profundidad, es un filósofo de las matemáticas centrado en las prácticas y metodologías de la disciplina, y ha llegado a conclusiones afines a las que aquí se sostienen. En sus propios términos, la verdad material de un teorema puede “engrosarse” mediante sucesivas demostraciones que enlazan distintas áreas de las matemáticas. Esto sugiere que nociones de este tipo ya estaban presentes, aunque de manera implícita, en autores que adoptan esta metodología de estudio.

^[8] La profundidad no debe entenderse como un valor booleano. No se es profundo o no. La profundidad es una cuestión de grado y, en tanto tal, un teorema, una demostración, un axioma o una definición pueden ser más o menos profundos en relación con otros.

^[9] Véase, a modo de referencia, una amplia nómina de filósofos de las matemáticas que se comprometen con esta tesis: De Toffoli (2021), Franklin (2014), Gödel (1944), Irvine (1989), Kim (1982), Kitcher (1983), Lakatos (1976), Maddy (1980), Madrid Casado (2018a), Peirce (1992), Putnam (1975) y Russell (1907/1973).

^[10] Madrid Casado no define explícitamente la naturaleza de la red de conocimiento a la que alude, aunque sí recurre a su noción de contextos determinantes para dar cuenta de este fenómeno. Nuestra interpretación se inspira en la noción quineana de red de creencias (Quine y Ullian, 1970).

^[11] Un caso de especial impacto es el del teorema de Pitágoras, para el cual se han registrado aproximadamente 371 demostraciones (Ratner 2009, p. 230). Loomis (1940) agrupa estas demostraciones en cuatro categorías principales: algebraicas (109), geométricas (255), cuaterniónicas (4) y dinámicas, basadas en consideraciones de masa y velocidad (2). También se han encontrado pruebas que hacen uso de cuadrados mágicos (5).

^[12] Una demostración completa de este teorema puede encontrarse en Teschl (2012, pp. 33-38).

^[13] El problema de los puentes de Königsberg pudo resolverse mediante técnicas propias de la teoría de grafos; en ese caso, asumiendo la tesis de la explicación matemática, el conocimiento matemático permitió dar cuenta de un problema del mundo físico de manera directa, sin requerir conocimientos específicos de una teoría física. En cambio, para sostener rigurosamente el determinismo en la mecánica newtoniana fue necesario formular la Segunda Ley de Newton en términos de ecuaciones diferenciales y aplicar el teorema de Picard–Lindelöf. Se trata, entonces, de un proceso que exige un paso adicional: la relación entre conocimiento propio de la mecánica newtoniana y conocimiento perteneciente al dominio matemático, lo que da lugar a una forma de explicación más indirecta.

^[14] El problema se agrava al considerar otros posibles portadores de profundidad, como los diagramas o los métodos: ¿cómo podrían individuarse? Incluso las intuiciones o ejemplos pondrían en riesgo la tesis evidencialista (Ernst et al., 2015, p. 156).