Felipe Morales Carbonell tiene un Doctorado (PhD) y un Máster en Filosofía (MPhil) por el Instituto de Filosofía de la KU Leuven, Bélgica. Es investigador postdoctoral en el Departamento de Filosofía de la Facultad de Filosofía y Humanidades de la Universidad de Chile. Email: ef.em.carbonell@gmail.com. ORCID: 0000-0001-5492-0759

Licenciado en Filosofía de la Universidad de Chile, estudiante del diplomado “Fundamentos de la Física” de la misma casa de estudios. Actualmente se desempeña como jefe en Gestión Editorial de la Revista Homónima. Email: kuminak.lefio@ug.uchile.cl. ORCID: https://orcid.org/0009-0005-8121-4063.

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ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE GRÁFICOS PEIRCEANOS MODALES[1]

Felipe Morales Carbonell[2]

El filósofo pragmatista C.S. Peirce (1839-1914) dedicó gran parte de sus esfuerzos en su último periodo al desarrollo de una serie de sistemas lógicos diagramáticos, que denominó gráficos existenciales. Peirce desarrolló sistemas diagramáticos para lógica proposicional (clásica) (sus gráficos «alfa»), lógica de primer orden (sus gráficos «beta»), y lógica modal (sus gráficos «gamma»). Lo distintivo de estos sistemas es que en ellos las relaciones lógicas son representadas de manera gráfica o visual. En este artículo, quiero dar una breve presentación de las ideas centrales de estas lógicas, y hacer algunas observaciones sobre ciertas características de la manera en que capturan la noción modal de posibilidad.

La idea fundamental es que podemos representar conjuntos de afirmaciones como inscripciones sobre una superficie, que Peirce llama la “hoja de aserción”. Asumamos que podemos representar proposiciones mediante letras minúsculas (p, q, …). Así, que y son verdaderas (lo que en la notación contemporánea escribiríamos como p∧q) correspondería a

Para expresar que algo no es verdadero (es decir, es falso), lo inscribimos dentro de una línea cerrada que llamamos corte. Así, ¬p∧q correspondería a

Vamos a llamar a cualquier parte del diagrama (un conjunto de proposiciones y cortes) un subgrafo.

Teniendo un dispositivo para expresar conjunciones y negaciones, podemos expresar disyunciones (p∨q = ¬(¬p ∧¬q)) y condicionales (p → q = ¬(p∧¬q)):

Dejo como tarea al lector pensar cómo podría representarse el bicondicional.

En los sistemas lógicos tradicionales, definimos una relación de consecuencia lógica entre conjuntos de fórmulas y fórmulas: decimos que de un conjunto de premisas P₁… P_n se sigue la conclusión C. En el sistema de Peirce, la relación de consecuencia lógica (⇒) se define en términos de transiciones de gráficos a otros gráficos. Esta relación es reflexiva: así como de p se sigue p, el gráfico cuya única inscripción es p es consecuencia lógica de sí mismo. Además de esto, tenemos otras reglas que nos permiten transformar los gráficos inscribiendo proposiciones, borrándolas, trazando cortes y quitándolos. Por ejemplo, es claro (al menos desde la perspectiva de la lógica clásica) que si tenemos, también

tenemos ¬¬p. Esto corresponde a la siguiente transformación:

Es claro que esto es válido para cualquier subgrafo, no solamente para inscripciones de proposiciones en la hoja de aserciones (¬(p∧q) es equivalente a ¬¬¬(¬¬p∧q), por ejemplo). En esta forma esquemática, podemos llamar a esta regla corte doble (DC). Como caso límite, la hoja vacía es un subgrafo, de modo que podemos introducir o eliminar un corte doble arbitrariamente:

La transformación inversa, de ¬¬p a p, es igualmente válida (DCi):

Esto es equivalente a la regla usual de eliminación de la doble negación. Hay lógicas (las así llamadas lógicas intuicionistas) donde la regla de eliminación de la doble negación no es válida. La idea (a grandes rasgos) es que de que no haya una prueba de que no hay una prueba de una tesis, no se sigue que esa tesis sea verdadera. Vamos a volver a este punto después.

En efecto, podemos entender la hoja vacía como algo que es irrestrictamente verdadero (análogo a ⊤), y a un cierre vacío sobre una hoja vacía como la negación de lo irrestrictamente verdadero (análogo a ⊥). Esto significa que las tautologías son equivalentes a la hoja vacía–en otras palabras, para demostrar que un grafo es tautológico es suficiente mostrar que puede transformarse la hoja vacía en él, y para mostrar que es inconsistente, es suficiente mostrar que puede transformarse el corte vacío en él.

El sistema contempla solamente 3 reglas más. Para entenderlas tenemos que introducir la noción de nivel de un subgrafo, que es el número de cortes que lo rodean. Por ejemplo, en

el nivel de q es 2, el de p y r es 1, y la hoja de aserción tiene nivel 0. Aunque p y r tienen el mismo nivel, no están anidados en un mismo subgrafo que no sea la hoja entera misma.

Las reglas son:

• Inserción: se puede insertar cualquier gráfico en un nivel impar

Por ejemplo:

Es decir, si p es falso, p∧q también es falso.

• Borrado: se puede borrar cualquier subgrafo en un nivel par.

Por ejemplo:

Vale la pena observar que aquí el grafo que resulta tiene que leerse como p→⊤: el corte vacío es de nivel 2, por lo que es la negación de un corte vacío de nivel 1, que como vimos, es ⊥.      Como solo se puede borrar en un nivel par, la operación de borrado siempre será equivalente a Introducir ⊤.

 

• Iteración/Deiteración: se puede insertar o borrar una copia de un subgráfo a cualquier nivel anidado en relación con ese subgráfico.

Es decir, si p→⊤ entonces p→p. En este ejemplo, el corte de nivel 2 está anidado en uno de   nivel 1 que contiene, de modo que puede iterarse p en el corte de nivel 2.

Para ilustrar, considérese una prueba de p∨¬p como una tautología.

Nótese que en cada paso probamos una tautología: en el tercer paso (tras Ins), probamos p→⊤ como tautológica, y en el penúltimo paso (tras Iter) probamos p → p.

Mi interés en los gráficos Peirceanos tiene que ver con la extensión que hace Peirce para capturar el comportamiento de ciertas modalidades, el sistema de los así-llamados gráficos «gamma».^[3] La idea básica es que a veces interesa razonar considerando enunciados que no han sido probados como verdaderos o falsos–algo que podría ser verdadero o falso. Para capturar esto Peirce introduce un segundo tipo de corte, que voy a llamar (siguiendo a Peirce) corte roto:

Nos imaginaríamos que p rodeado por un corte de este tipo significaría que p es posible (es decir, que este grafo sería equivalente a una afirmación de ◇𝑝 en la notación contemporánea usual para la lógica modal), pero no es así. Peirce propone que deberíamos leer esto como ¬𝑝 es posible, es decir, ◇¬𝑝. Veamos qué consecuencias trae esto–quizás examinándolas podamos entender mejor por qué Peirce adopta esta convención.

La negación de este grafo es:

Esto es equivalente a decir que es necesario: no es el caso que sea posible (¬◇¬𝑝).

Del mismo modo, negar p dentro del corte roto es:

Esto es equivalente a decir que es posible: es posible que no sea el caso que no sea el caso (◇¬¬𝑝).

Los axiomas modales corresponden a ciertos patrones de transformación de estos grafos. Así, por ejemplo, el axioma T (□𝑝 → 𝑝) corresponde a la transformación

Es fácil ver qué transformaciones corresponden al converso de T (𝑝 → ◇𝑝), al axioma K (□(𝑝→𝑞)→(□𝑝 → □𝑞)), 4 (□𝑝 → □□𝑝) y 5 (◇𝑝 → □◇𝑝) (dejamos esto como ejercicio para el lector).^[4] La validez de las inferencias modales se justifica en ciertas reglas, similares a las de la porción proposicional que vimos arriba, que tienen que ver con la posibilidad de convertir cortes continuos por cortes rotos, y otras manipulaciones de este tipo. Por ejemplo, T se puede justificar apelando a una regla (C) que dice que si un corte roto está anidado en un corte continuo a nivel par, puede convertirse en un corte continuo. Así:

Ahora que tenemos una idea de cómo funciona la lógica diagramática proposicional y modal de Peirce, me gustaría hacer algunas observaciones que ilustran una clase de problemas que el uso filosófico de la lógica presenta a menudo, que tienen que ver con la manera en que interpretamos un formalismo.

A diferencia de lo que sucede en la lógica modal usual, aquí las modalidades de la necesidad y la posibilidad no son primitivas, sino derivadas: en el simbolismo, estas nociones emergen de la aplicación de cortes de distintos tipos. Esto presenta un problema: para que digamos que ◇¬¬𝑝 es equivalente a ◇𝑝, necesitamos que ¬¬𝑝 sea equivalente a p (de forma similar, para que ¬¬◇𝑝 sea equivalente a ◇𝑝, debemos tener la capacidad de eliminar la doble negación al comienzo). Si bien esto es clásicamente válido (y en efecto, es una de las asunciones centrales de los gráficos proposicionales Peirceanos), el hecho de que tengamos que asumir una lógica clásica (o al menos, una regla que permita la introducción y eliminación de dobles cortes alrededor de operadores modales) para poder derivar un concepto de posibilidad positivo (que no tenga que referir a la negación) es extraño. Un lógico intuicionista, que rechace la regla de doble negación, no obstante esto podría querer decir que hay un concepto de posibilidad que no es equivalente a ◇¬¬𝑝 (para este lógico, podría distinguirse entre ◇𝑝, ◇¬¬𝑝 y ¬¬◇𝑝).^[5] La lógica de Peirce, en la forma presente, parece no poseer los recursos conceptuales para capturar estas distinciones.

Podría contraargumentarse que la preocupación que acabo de esbozar se debe a una suposición errónea, a saber, la idea que los primitivos notacionales de una lógica deben corresponden a los primitivos conceptuales de la misma. Esto no es necesariamente así; la idea sería que si bien en la lógica modal de Peirce la notación para la posibilidad es derivada, el concepto de posibilidad que queda expresado de esa manera derivada podría ser primitivo. Sin embargo, esta respuesta es insatisfactoria porque usualmente se cree que la notación lógica debe ser un medio conspicuo para expresar los conceptos lógicos que vienen al caso. Esto no es ajeno al pensamiento de Peirce: en efecto, la idea de que la modalidad pueda expresarse en términos de algo similar al corte con que expresa la negación es sugerente respecto a la manera en que Peirce concebía el papel del juicio modal en términos de posibilidades concernientes a lo que representa la hoja de aserciones. Si esta representa el contenido evaluado durante una sesión de pensamiento, la inscripción modal mediante el dispositivo del corte roto representa una forma alternativa de evaluar contenidos, distinta a la aserción y la negación. Esto es claro. Lo que no es claro es qué exactamente debería representar el corte como notación–en otras palabras, cómo deberíamos interpretarlo. La decisión de Peirce de adoptar la convención de que el corte roto representa la posibilidad de que algo no sea el caso es simplemente una solución posible al problema, entre otras.

Inicialmente, parecería sencillo reemplazar la interpretación del corte roto como ◇¬ por una interpretación del corte roto como ◇, en cuyo caso la noción de posibilidad quedaría como primitiva.^[6] Sin embargo, al hacer esto perdemos, al menos de manera preliminar, el aparataje inferencial que describimos arriba, por ejemplo cuando derivamos la validez del axioma T. ¿Qué reglas son válidas para esta interpretación del corte roto? Dejo eso como otro ejercicio para el lector.

Ha habido intentos de construir sistemas intuicionistas de grafos Peirceanos, y vale la pena examinar un poco cómo se resuelven estos problemas allí. Oostra (2022) desarrolla una lógica diagramática modal intuicionista. En esta lógica, el corte roto se interpreta como una inscripción de contingencia, es decir,

Así, p inscrito en un corte roto es equivalente a ¬□𝑝 en la lógica modal tradicional, no a ◇¬𝑝. En este caso, pareciera que el problema que esbozamos no surge en el caso de la posibilidad, que queda como equivalente a ¬□¬𝑝, sino en el caso de la necesidad, que queda equivalente a ¬¬□𝑝. ¿No podría querer el intuicionista aceptar un concepto de necesidad que no sea equivalente a esto? En efecto, en lógicas modales intuicionistas las modalidades de necesidad y posibilidad no son necesariamente duales (es decir, las equivalencias ◇ = ¬□¬ y □ = ¬◇¬ pueden no ser válidas).^[7] En el sistema de Oostra, esto se resuelve en que cada modalidad corresponde a un tipo distinto de corte primitivo:

Dado esto, y desde un punto de vista conceptual, ¿siguen siendo la necesidad la negación de la contingencia, y la posibilidad la contingencia de una negación? Es decir, ¿serían válidas las siguientes equivalencias?

Esto va a verse reflejado en las reglas de transformación que adoptemos. Desde un punto de vista intuicionista estricto, la primera quizás solo podría ser aceptable en el sentido de izquierda a derecha (pasamos de un gráfico positivo a uno negativo, lo que está permitido), pero no de derecha a izquierda (porque pasamos de un gráfico negativo a uno positivo). En el segundo caso, todo depende de si tomamos a la posibilidad o a la contingencia como positivas o negativas. Para decidir eso, no bastan las consideraciones formales–hace falta un argumento filosófico.

COMENTARIO a “Algunas observaciones sobre gráficos peirceanos modales” de Felipe Morales Carbonell[8]

Kuminak Lefio Zamorano[9]

La relación, que queda patente en el texto, entre las investigaciones lógicas y filosóficas se muestra como una compleja interacción, con un potencial significativo de ser complementarias entre sí. Esto podría parecer obvio en tanto que entendamos a la lógica como una parte o rama de la filosofía, sin embargo, y a pesar de que lo anterior es verdadero, estaríamos perdiendo el matiz de una distinción más sutil entre lógica y filosofía, el cual no se trata de una diferenciación radical entre ambas como disciplinas, sino que es acerca del tipo de razonamiento que se dedicaría al análisis meramente formal y aquel que busca responder preguntas sustantivas acerca de los conceptos abordados en dicho sistema formal, las cuales parecen no ser decidibles meramente por este mismo.

En este caso particular, se ha mostrado como el estudio de los gráficos Pierceanos, como un sistema lógico particular, suscita cuestionamientos y dudas en ambos niveles. Por un lado, en su estructura formal es cuestionable si es que se trata de un sistema lógico completamente independiente del clásico o si parece tener que acudir a este para resolver algunas de las problemáticas planteadas. Por otro lado, nos motiva a reflexionar sobre el concepto de posibilidad y como juega un rol en nuestro razonamiento, a la vez que, en una pregunta en cierto sentido de segundo orden, acerca de cómo el sistema lógico que adoptemos debería ser un modelo adecuado de la forma normativamente correcta de desarrollar nuestro razonamiento.

Es por esto, que estos dos dominios de análisis, el formal y el sustantivo/conceptual, no parecen ser completamente independientes el uno del otro y funcionan mejor desarrollándose de forma juiciosa en conjunto. No solo de tal forma que nuestras propuestas sustantivas acerca de los conceptos relevantes guíen nuestra formulación de sistemas lógicos, sino también en tanto que el estudio lógico nos permite identificar los pilares fundamentales de nuestro razonamiento que requieren ser abordados con una postura filosófica robusta. Esto último, nos otorga una idea destacable acerca de la importancia del estudio de la lógica para nuestra teorización de otros problemas filosóficos. No me refiero únicamente a la idea comúnmente difundida de que estudiar la lógica nos ayuda a ordenar nuestro pensamiento y ser claros en la formulación de nuestros argumentos. En cambio, de forma más específica quiero señalar cómo estudiar a fondo sistemas lógicos nos permite llegar a los conceptos fundamentales que utilizaremos en nuestra argumentación acerca de los problemas filosóficos que abordamos, y nos motiva a tomar una postura explícita respecto a cómo entender cada uno de ellos, así como las relaciones que tienen entre sí. Esto plausiblemente nos ayudará a ser más claros y ordenados en la argumentación, pero el rédito filosófico de identificar y vernos obligados a abordar estos pilares conceptuales no se limita a dicha claridad.

Bajo esta lectura, lo expuesto acerca de los gráficos Peirceanos no es solo relevante para la formulación formal o la postura filosófica que apoya este sistema lógico particular, sino que además nos suscita a tomar una postura sobre preguntas más generales: ¿Cómo se entiende la posibilidad? ¿Qué relevancia y potencial de modelación tiene esta forma diagramática de estructurar el razonamiento? ¿Cómo debería interactuar en nuestro razonamiento el que consideremos algo como plausible con el resto de proposiciones que pueden ser relevantes para dicho caso?, entre otros cuestionamientos que a alguien más que a mí se le ocurrirán.

Para desarrollar una de estas líneas de cuestionamiento, me extenderé sobre una idea que está de fondo en la lógica de gráficos Peirceanos: la posibilidad de modelar nuestro razonamiento lógico de forma diagramática. Esta es una idea sumamente llamativa, ya que promete ver el proceso de pensar lógicamente desde una perspectiva sustancialmente diferente a la forma tradicional. Y por lo mismo, no sería extraño suponer que nos permitiese llegar a nuevas conclusiones acerca de la estructura o las posibilidades del razonamiento lógico. Sin embargo, en el caso de los gráficos Peirceanos a pesar de que se presentan en una estructura diagramática y pretenden este cambio sustancial de perspectiva frente a la lógica, parece que no nos terminan entregando aquello que prometen.

Para argumentar lo anterior partamos desde la siguiente idea. Si nuestro objetivo fuese elaborar una perspectiva del razonamiento lógico que intentase modelarlo y comprenderlo diagramáticamente, lo que necesitaríamos no sería meramente una estructura construida por medio de dibujos cuyas reglas sean correctas para nuestros estándares ya establecidos acerca de cómo se debe conducir el razonamiento. Necesitaríamos además que aquellos dibujos y las reglas adecuadas para transformarlos representasen por sí mismos algo acerca del razonamiento lógico. Es decir, si quisiéramos llevar a sus últimas consecuencias el proyecto de modelar diagramáticamente el pensamiento lógico, debería poder ser explicable como cada aspecto del diagrama y sus transformaciones reflejan lo que normativamente entendemos como el razonamiento lógico. Esto es especialmente importante para que una lógica diagramática pueda llevarnos a conclusiones distintas acerca del razonamiento lógico y sus posibilidades, allí se juega la capacidad de distinguir sustancialmente este sistema lógico de otros y la posibilidad de defender que adoptarlo no es meramente un cambio superficial, sino que implica cambiar sustancialmente de perspectiva frente a la lógica.

Teniendo en mente esto, los gráficos Peirceanos si plantean algunas ideas que parecen atender a la exigencia recién planteada, mencionemos algunos ejemplos prominentes:

Por un lado, tenemos la intuición de que en nuestro razonamiento separamos aquello que consideramos verdadero de lo que consideramos falso. Esto se ve representado en los gráficos por medio del corte que aísla algunos elementos de otros y señala la falsedad de estos, separándolo de lo que se considera como verdadero. Es una idea interesante desde la que partir y que sí parece ser una manera plausible, entre muchas otras, de relacionar estas estructuras diagramáticas con aspectos de nuestro razonamiento lógico. No solo guarda una evidente relación con la forma en que razonamos lógicamente, sino que como toda lógica debería, estipula ideas normativas acerca de cómo conducir el razonamiento, en este caso, se norma el deber mantener separado y distinguible aquello que se considera verdadero de lo que se considera falso.

Por otro lado, el querer construir un tipo de corte distinto para aquello que consideramos posible en vez de tajantemente verdadero o falso, intenta claramente reflejar un aspecto de nuestro razonamiento y normar el tipo de relaciones lógicamente válidas que se pueden establecer con esta posibilidad. Además, esto se condice con el interés que demuestra Peirce por el rol que juega lo plausible en nuestro razonamiento lógico y en la investigación científica.

No obstante, otros elementos, como las reglas de transformación de los gráficos, la idea de distintos niveles según los cortes alrededor de algo, diferenciar entre niveles pares e impares, entre otros, no parecen cumplir con dicha exigencia de la misma forma. Deberíamos ser capaces de explicar ¿Cómo el que se pueda insertar cualquier gráfico en un nivel impar refleja algo del modo en que eso funciona en el razonamiento lógico? Y aquí, al menos planteándonos desde la perspectiva exigente que ya definimos, no podemos solo responder “de la misma forma que lo hace la lógica clásica” o “ya que refleja un paso que ya consideramos como válido”, lo que en cambio buscamos es que la estructura de gráficos, por su forma, ubicación u organización visual y estructural sea aquello que nos pueda otorgar la respuesta a la pregunta. En el caso de estos elementos, a pesar de cuan fructíferos son en la tarea formal de establecer este sistema lógico de manera adecuada, se vuelve difuso cómo nos dicen algo sobre el pensamiento lógico, especialmente si intentamos buscar algo distinto de lo que no dirían otros sistemas lógicos que no sean diagramáticos. En síntesis, la estructura y forma de estos elementos de los gráficos Peirceanos no parecen tener una relación clara con el razonamiento que modelan^[10], es decir, es justamente lo que le otorga el carácter diagramático a esta lógica aquello que carece de esta relación clara y directa.

Esta problemática parece darse por el método según el que se establecen estas reglas de transformación de grafos. Este parece proceder partiendo desde una serie de inferencias ya consideradas válidas en la lógica, para luego identificar el tipo de reglas de transformación de grafos que se adecuan para cumplir estas inferencias lógicas. Esto implica que el criterio, al menos el principal sino el único, para seleccionar este conjunto de reglas en lugar de otros, es justamente esta coincidencia con lo que ya hemos aceptado por válido en la lógica. Y no hay razón para suponer que este criterio por sí solo nos hará obtener una estructura diagramática que refleje nuestro razonamiento lógico, por el tipo de diagrama que es. La relación solo está establecida en la capacidad de producir inferencias correctas por medio de unos simbolismos que resultan tener un carácter diagramático, tal como también lo hacen simbolismos clásicos, y no entre la forma de ser de estos diagramas y nuestro razonamiento lógico; nunca se da esta relación directa en el método por el cual construimos las reglas de transformación de grafos.^[11]

El panorama para construir una lógica diagramática (con las aspiraciones antes mencionadas) parece ser algo más complejo, en este sabemos no solo que tenemos múltiples posibilidades de estructuras de gráficos y reglas de transformación, sino que además sabemos que el mero criterio de adecuación con las inferencias de la lógica tradicional no es suficiente. Incluso, desde esta perspectiva no sería extraño elucubrar que existan múltiples sistemas de gráficos y reglas capaces de acomodar dichas inferencias lógicas, pero que cada uno de ellos difiera de los demás. En cambio, debemos defender que un sistema diagramático particular con sus reglas propias, refleja en su estructura y normatividad (reglas) el funcionamiento del razonamiento lógico, he aquí el criterio que realmente nos permitiría elegir un sistema diagramático sobre otro. Este segundo método considero que no está desarrollado en el caso de los gráficos Peirceanos y, por ende, tampoco la argumentación necesaria para defender que esta lógica diagramática llegue a realizar un potencial mayor que ser meramente una traducción de unos símbolos a otros de la lógica tradicional.^[12]

Lo anterior no implica que no exista potencial en los gráficos Peirceanos para realizar estas aspiraciones, antes mencionábamos algunos de los aspectos que sí parecían apuntar en esta dirección, pero sí es claro que hace falta recorrer este complicado camino de argumentar filosóficamente el entrelazamiento entre ciertos diagramas y el pensamiento lógico para lograrlo.

La discusión de la lógica de gráficos Peirceanos abre muchas otras incógnitas que no abordaré en profundidad aquí, pero que sí han tenido la posibilidad de ser sugeridas a lo largo del texto. Siguiendo esta línea, cerraré el texto dejando algunas interrogantes puntuales en las que el lector pueda vagar, hasta hallar o no una respuesta que lo satisfaga: ¿Qué significa entender la posibilidad de forma positiva o negativa? Es decir, como la afirmación o la negación de algo ¿Acaso no es la naturaleza misma de considerar algo posible, el considerar a la vez su afirmación y su negación? ¿O hay una manera correcta en la que se pueda expresar un sentido puramente positivo de la posibilidad? Finalmente ¿Hay alguna diferencia entre lo que entendemos por posible y lo plausible que es de tanto interés para autores como Peirce? ¿Ocupan ambas cosas el mismo lugar en nuestro razonamiento y en nuestras empresas de búsqueda de conocimiento?

REFERENCIAS

Grigoryan, K., & Carbonell, F. M. (2025). Peircean knowability and Fitch-like paradoxes. Res Philosophica, 102(2), 163-190. https://doi.org/10.5840/resphilosophica2664

Legg, C. (2011). The Hardness of the Iconic Must: Can Peirce’s Existential Graphs Assist Modal Epistemology?. Philosophia Mathematica, Volume 20, Issue 1, February 2012, Pages 1–24, https://doi.org/10.1093/philmat/nkr005

Ma, M., & Pietarinen, A.-V. (2017). Gamma graph calculi for modal logics. Synthese, 195(8), 3621-3650. https://doi.org/10.1007/s11229-017-1390-3

Oostra, A. (2022). Intuitionistic and geometrical extensions of Peirce’s existential graphs. En Advances in Peircean Mathematics (pp. 105-180). De Gruyter. https://doi.org/10.1515/9783110717631-003

Priest, G. (2014). Revising logic. En P. Rush (Ed.), The Metaphysics of Logic. (pp. 211-223). Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9781139626279.016

Schmidt, J. A. (2025). Peirce and modal logic: delta existential graphs and pragmaticism. Cognitio: Revista de Filosofia, 26(1), e60449. https://doi.org/10.23925/2316-5278.2025v26i1:e60449

Wolter, F., & Zakharyaschev, M. (1999). Intuitionistic modal logic. En Logic and Foundations of Mathematics (pp. 227-238). Springer Netherlands. https://doi.org/10.1007/978-94-017-2109-7_17

NOTAS

[1] Publicado: 29 / 01 / 2026. Revista Open Access 4.0. Artículos de la Revista Homónima. (ISSN 3087-260X), Departamento de Educación y Ciencias Sociales de la Universidad Andrés Bello. Cómo citar: Morales, F. (2026) Algunas observaciones sobre gráficos peirceanos modales. Revista de Filosofía Homónima, 1(1), pp. 453-464 https://doi.org/xxxxxxx[Por asignar]

[2] Felipe Morales Carbonell tiene un Doctorado (PhD) y Máster en Filosofía (MPhil) por el Instituto de Filosofía de la KU Leuven, Bélgica. Es investigador postdoctoral en el Departamento de Filosofía de la Facultad de Filosofía y Humanidades de la Universidad de Chile. Email: ef.em.carbonell@gmail.com. ORCID: 0000-0001-5492-0759

^[3]      Un poco más de contexto: me interesa el problema de si Peirce tiene los recursos para evitar paradojas del tipo de Fitch, que aparecen en lenguajes que tienen recursos modales y epistémicos. En algunos de estos sistemas, es demostrable que la cognoscibilidad colapsa en el conocimiento. En Grigoryan & Carbonell (2025) examinamos el problema desde una perspectiva general. Ahora me interesa examinarlo desde la perspectiva de la lógica diagramática Peirceana, pero no hablaré más en detalle de eso por ahora.

^[4]      Ma & Pietarinen (2017) describe una serie de sistemas modales empleando el marco de los gráficos existenciales Peirceanos.

^[5]      Consideren cómo se puede expresar ¬¬◇𝑝 en la lógica de los gráficos gamma. Todo corte (tanto continuo como cortado) introduce una negación. De modo que no puede haber un grafo que represente ¬¬◇𝑝 con 𝑝 dentro de un único corte. Sabemos que en la lógica modal tradicional ◇ = ¬□¬ y □ = ¬◇¬, de modo que podemos convertir a ¬¬◇p primero en ¬¬¬□¬𝑝 (en este paso ya logramos introducir una negación antes de 𝑝) y luego a ¬¬¬¬◇¬¬𝑝. Podemos construir el grafo correspondiente, y aplicando la regla de doble corte iteradamente vemos que el grafo es equivalente al grafo de ◇¬¬𝑝.

^[6]      Eventualmente, Peirce mismo adoptó un sistema lógico donde podía representar la noción de posibilidad directamente. Véase Schmidt (2025) para una discusión.

^[7]      Cf. Wolter & Zakharyaschev (1999).

[8] Publicado: 29 / 01 / 2026. Revista Open Access 4.0. Artículos de la Revista Homónima. (ISSN 3087-260X), Departamento de Educación y Ciencias Sociales de la Universidad Andrés Bello. Cómo citar: Lefio, K. (2026) Cometario a “Algunas observaciones sobre gráficos peirceanos modales” de Felipe Morales Carbonell. Revista de Filosofía Homónima, 1(1), pp. 494-502 https://doi.org/xxxxxxx[Por asignar]

[9] Licenciado en Filosofía de la Universidad de Chile, estudiante del diplomado “Fundamentos de la Física” de la misma casa de estudios. Actualmente se desempeña como jefe en Gestión Editorial de la Revista Homónima. Email: kuminak.lefio@ug.uchile.cl. ORCID: https://orcid.org/0009-0005-8121-4063.

^[10] Vease, Priest (2014) para una perspectiva más profunda y detallada acerca de lo que nuestros sistemas lógicos intentan modelar. Aquí el concepto de lógica utens nos permite apuntar directamente a aquello con lo que se le exige a los gráficos Peirceanos que establezcan una relación clara.

^[11] Teniendo en cuenta la importancia de la teoría semiótica de Peirce, vale la pena señalar que aquí el término “símbolos” se está utilizando de una forma más general y no apelando a la distinción planteada por el autor entre símbolos, índices e iconos. Sin demérito de lo anterior, aprovechare de considerar una posible objeción que se desprende de considerar esta distinción. En Legg (2011), donde se desarrolla una interesante discusión respecto a cómo llegamos a conocer la necesidad lógica, se sugiere que los gráficos Peirceanos serían principalmente iconos, en vez de símbolos o índices. Resumidamente, esto implica que como signo en sí mismo representan su objeto, y que las partes y relaciones de su estructura son representativas en sí mismas de la estructura de su objeto. No pretendo discutir profundamente esta idea en tan poco espacio, pero si planteare que creo que la problematización desarrollada no se disuelve por meramente señalar que se trata de un icono. En realidad, parece que ocurre lo opuesto, comprender a los gráficos como iconos que deberían permitir esta correspondencia entre las estructuras (partes y relaciones) del signo y el objeto, motivan a que nos preguntemos y respondamos como exactamente se da esta representación directa. Para defender que sean iconos efectivos en lo que buscan representar tenemos que dar cuenta de que se cumple la representación en los detalles del modelo, especialmente en los elementos diagramáticos de esta lógica que la distinguen de otras, y no solo en la generalidad de que se cumplen inferencias lógicas. Muchas gracias a Felipe Morales por hacer que me fijara en esta posible objeción.

^[12] Obviamente acepto la falibilidad de esta afirmación y espero que este comentario sirva para desarrollar debates acerca de la posibilidad de una lógica diagramática, siendo yo el primero en alegrarme si se demuestra que los gráficos Peirceanos si cumplen con las exigencias que aquí se sugieren.